Genelleştirilmiş Türkiye EGMO TST 2019 #2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere  $abc=1$  ,  $a+b+c=p$ , ve

$$\left(\lambda ab+\theta a+\theta b-\theta p +\beta\right)\left(\lambda bc+\theta b+\theta c-\theta p +\beta\right)\left(\lambda ca+\theta c+\theta a-\theta p +\beta\right)\geq 0$$
koşulları sağlanıyorsa

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{p\left(\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}\right)}{2\theta}+\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}-\left(\dfrac{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}{2\theta}\right)^2$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda=1,\beta=1,\theta=2,p=5$$
verildiğinde problem Türkiye EGMO TST 2019 #2'ye dönüşür.
Minimum değer ise $5$ bulunur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problemde verilen eşitsizlikle uğraşalım $a+b+c=p\Rightarrow a+b=p-c$ ve $ab=\dfrac{1}{c}$ olduğundan
$$LHS=\prod{\left(\lambda ab+\theta\left(a+b\right)-\theta p+\beta\right)}=\prod{\left(\dfrac{\lambda }{c}-\theta c+\beta\right)}$$
elde edilir. Ayrıca her ifadeyi ilgili $a,,b,c$ den biri ile çarparsak sol taraf $abc=1$ olduğundan değişmez. O zaman
$$\prod{\left(\dfrac{\lambda }{c}-\theta c+\beta\right)}=\prod{\left(\lambda+\beta c-\theta c^2\right)}$$
elde edilir. Bu ifade çarpanlara ayrılacak olursa
$$LHS=\prod{\left(\lambda+\beta c-\theta c^2\right)}=\prod{\left(1-\dfrac{2\theta}{\beta-\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c\right)}.\prod{\left(1-\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c\right)}$$
$$=\prod{\left(\dfrac{2\theta}{\beta-\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c-1\right)}.\prod{\left(\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c-1\right)}$$
Bu çarpanlara ayırma işlemi kökler bulunarak yapılabilir
$$x_{1,2}=\dfrac{\beta\mp \sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}{2\theta}$$
Çarpanlara ayırma işlemini yaptığımızdan sonra sol tarafın iki çarpımı arasında büyük-küçük ilişkisi elde edelim ve sonra küçük olanın $0$'dan küçüklüğü için yeter koşulu bulalım. İki çarpım da sıfıra büyük eşitken
$$\prod{\left(\dfrac{2\theta}{\beta-\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c-1\right)}\geq \prod{\left(\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c-1\right)}$$
eşitsizliği çalışır. Bunun sebebi ise $2\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}\geq 0$ olmasıdır. Buna göre
$$LHS\geq 0\Rightarrow \prod{\left(\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c-1\right)}\geq 0$$
olması gerek ve yeter koşuldur. O çarpım sıfıra büyük eşitse diğeri de öyle olacaktır. Gösterimi kolaylaştırmak için
$\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}=k$ diyelim. O zaman
$$\prod{\left(\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}c-1\right)}=\left(1-ka\right)\left(1-kb\right)\left(1-kc\right)=k^2\left(ab+bc+ca\right)-k\left(a+b+c\right)-k^3abc+1$$
$$=k^2\left(ab+bc+ca\right)-kp-k^3+1\geq 0$$
$$\Rightarrow ab+bc+ca\geq \dfrac{k\left(p+k^2\right)-1}{k^2}=k+\dfrac{p}{k}-\dfrac{1}{k^2}$$
elde ederiz. $k$'yı yerine koyarsak $LHS\geq 0$ olmasının yeter koşulu
$$ab+bc+ca\geq \dfrac{p\left(\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}\right)}{2\theta}+\dfrac{2\theta}{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}-\left(\dfrac{\beta+\sqrt{\beta^2+4\theta\lambda}}{2\theta}\right)^2$$
elde ederiz. Son aşamada $abc=1$ olması sonucu $ab+bc+ca=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}$ eşitliğini sayesinde ispatı tamamlarız.