Gönderen Konu: Genelleştirilmiş USAMO 2004 #5 {çözüldü}  (Okunma sayısı 270 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş USAMO 2004 #5 {çözüldü}
« : Kasım 13, 2023, 08:53:19 ös »
Genelleştirme 1
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{p+1}$ ($p\geq 2$) olmak üzere


$$\prod_{cyc- i}{\left(a_i^{2p+1}-a_i^{p}+p+1\right)}\geq \left(\sum_{cyc}{a_{1}}\right)^{p+1}$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Şubat 10, 2024, 09:38:18 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş USAMO 2004 #5
« Yanıtla #1 : Kasım 13, 2023, 08:55:00 ös »
$$p=2$$
verildiğinde problem USAMO 2004 #5'e dönüşür.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş USAMO 2004 #5
« Yanıtla #2 : Şubat 03, 2024, 03:25:04 ös »
Öncelikler $p\geq 2$ için her $a$ pozitif reeli
$$\left(a^{p+1}-1\right)\left(a^p-1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^p+a^{p-1}+\cdots+1\right)\left(a^{p-1}+a^{p-2}+\cdots+1\right)\geq 0$$
$$\Rightarrow a^{2p+1}-a^p\geq a^{p+1}-1$$
eşitsizliği sağlar. Bunu problemde kullanırsak
$$\prod_{cyc- i}{\left(a_i^{2p+1}-a_i^{p}+p+1\right)}\geq \prod_{cyc- i}{\left(a_i^{p+1}+p\right)}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi son çarpım için $(p+1)×(p+1)$ matrisine (2D Array) her $a_i$,   $i'nci$ sırada olacak şekilde yerleştirip Hölder Eşitsizliği'ni uygularsak
$$\sqrt[p+1]{ \prod_{cyc- i}{\left(a_i^{p+1}+p\right)}}=\sqrt[p+1]{{\left(a_1^{p+1}+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{p}\right) \cdot \left(1+a_2^{p+1}+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{p-1}\right) \cdots \left(\overbrace{1+1+\cdots+1}^{p}+a_{p+1}^{p+1}\right)}}\geq \sum_{cyc}{a_1} $$
$$\Rightarrow \prod_{cyc- i}{\left(a_i^{p+1}+p\right)}\geq \left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^{p+1}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.
« Son Düzenleme: Şubat 10, 2024, 09:51:47 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal