Genelleştirilmiş Çin TST 2003 #3.1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x,y,z$ pozitif reeller olmak üzere $x+y+z=\lambda xyz$ ise


$$\sum_{cyc}{\left(x^{3p+1}\left(\lambda yz-1\right)\right)}\geq 6\left(\dfrac{3}{\lambda}\right)^{\dfrac{3p+1}{2}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$p=2,\lambda =1$$
değerleri verildiğinde problem Çin TST 2003 #3.1'in cevabı $162\sqrt{3}$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\lambda,p,n$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $\sum_{cyc}{x_{1}}=\lambda \prod{x_{1}}$ ise


$$\sum_{cyc}{\left(x^{pn+1}\left(\lambda \dfrac{\prod{x_{1}}}{x_{i}}-1\right)\right)}\geq n\left(n-1\right)\left(\dfrac{n}{\lambda}\right)^{\dfrac{pn+1}{n-1}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2'nin ispatını verelim. Aritmetik-Geometrik Ortalama'dan $\sum\limits_{cyc}{x_{1}}=\lambda \prod{x_{1}}$ bilgisiyle
$$\lambda \prod{x_1}\geq n\sqrt[n]{\prod{x_1}}\Rightarrow \prod{x_1}\geq \dfrac{n\cdot\sqrt[n-1]{\dfrac{n}{\lambda}}}{\lambda}$$
elde ederiz. Sol tarafla uğraşırsak
$$LHS=\sum_{cyc- i}{\left(x_i^{pn+1}\left(\lambda x_{i+1}x_{i+2}\cdots x_{i-1}-1\right)\right)}=\sum_{cyc- i}{\left(x_i^{pn}\left(\lambda \prod{x_1}-x_i\right)\right)}=\sum_{cyc- i}{\left(x_i^{pn}\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}\right)\right)}$$
$$=\sum_{sym}{x_1^{pn}x_2}$$
Bu simetrik toplamda her $1\leq i\leq n$ için $n-1$ tane $x_i^{pn}$ ve $n-1$ tane de $x_i$ diğer değişkenlerle çarpılmış halde toplanmış bulunuyor. Yani tüm terimlerin (terim sayısı simetrik toplam olduğundan $n(n-1)$ dir) çarpımında her uygun $i$ için $x_i^{(pn+1)(n-1)}$ elde ederiz. $\prod{x_1}\geq \dfrac{n\cdot\sqrt[n-1]{\dfrac{n}{\lambda}}}{\lambda}$ bilgisiyle Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanırsak
$$\sum_{sym}{x_1^{pn}x_2}\geq n\left(n-1\right)\cdot\sqrt[n(n-1)]{\left(\prod{x_1}\right)^{(pn+1)(n-1)}}\geq n(n-1)\sqrt[n]{\dfrac{n^{pn+1}\cdot \sqrt[n-1]{\dfrac{n^{pn+1}}{\lambda^{pn+1}}}}{\lambda^{pn+1}}} =n\left(n-1\right)\left(\dfrac{n}{\lambda}\right)^{\dfrac{pn+1}{n-1}}$$
sondaki eşitlik basit işlemlerle elde edilebilir. İspatı tamamlarız.