Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin çevrel çemberi üzerinde $AD$ çap olacak şekilde bir $D$ noktası alınmıştır. Sırasıyla $AB$ ve $AC$ doğru parçaları üzerinde yer alan $K$ ve $L$ noktaları için, $DK$ ve $DL$ doğruları $AKL$ üçgeninin çevrel çemberine teğettir. $KL$ doğrusunun $ABC$ üçgeninin diklik merkezinden geçtiğini gösteriniz.

Bir üçgenin diklik merkezi, o üçgenin yüksekliklerinin kesiştikleri noktadır.

[matematikolimpiyati]

$KL$ doğru parçasının orta noktası $M$ ve $ CM \cap AB = \{X \} $ olsun.

$\angle{DBK} = \angle{DMK} = 90^{\circ}$ olduğu için $D,B,K,M$ çemberseldir.
$\angle{DCL} = \angle{DML} = 90^{\circ}$ olduğu için $D,C,L,M$ çemberseldir.

$\angle{KAL} = \angle{KLD} = \angle{MLD} = \angle{MCD} \implies \angle{ACX}=90^{\circ}-\angle{KAL} \implies \angle{ACX}+\angle{KAL}=90^{\circ} \implies \angle{AXC}=90^{\circ} \implies CM \perp AB$

benzer şekilde $BM \perp AC$ bulunur ve buradan da $M$ noktasının $ABC$ üçgeninin diklik merkezi olduğunu söyleyebiliriz.

[ygzgndgn]

Çözüm. $KL$ doğru parçasının orta noktası $H'$ olsun. $DK$ ve $DL$, $(AKL)$ ye teğet ise $AD$ doğrusu $\triangle{AKL}$ de $A$-simedyandır. O halde $AD$ ile $AH'$ doğruları $\angle{BAC}$ ye göre izogonaldir. Benzer şekilde $O$ ile $H$ çevrel merkez ve diklik merkezi olmak üzere $AO$ ile $AH$ doğruları $\angle{BAC}$'de izogonaldir. $O\in AD$ olduğundan $H'\in AH$ buluruz. $BH'\perp AC$ ve $CH'\perp AB$ gösterilirse soru biter. $M$ orta nokta olup $\triangle{DKL}$ ikizkenar olduğundan $DM\perp KL$. Öte yandan $AD$ çap olduğundan $AB\perp BD$ ve $AC\perp CD$ gelir. Buradan $B,K,H',D$ ve $C,L,H',D$ çemberdeş gelir. Açı yazılırsa
$$\angle{H'BA}=\angle{H'BK}=\angle{H'DK}=90-A=\angle{H'DL}=\angle{H'CL}=\angle{H'CA}\Leftrightarrow \boxed{H'\equiv H}$$
bulunur. İspat biter. $\blacksquare$