Sierpinski Üçgeni - Fraktal - Geometrik Seri

[Lokman Gökçe]

Soru [Lokman GÖKÇE]: Sierpinski üçgeni şu şekilde oluşturulur.

1. Adım: Bir eşkenar üçgen çiziniz.

2. Adım: Bu eşkenar üçgenin orta noktalarını kullanarak orta kısımda oluşan eşkenar üçgeni maviye boyayınız.

3. Adım: Boyalı olmayan üçgenlere 2. adımdaki işlemi tekrar ve tekrar uygulayınız.



Başlangıç üçgeninin alanı $S$ olsun. Boyama işlemleri $n$ defa uygulandığında, mavi boyalı kısmın toplam alanı $T_n$ olsun. $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac{T_n}{S}} $ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$  \textbf{a)}\ \dfrac{3}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{16} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{63}{64} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{255}{256} \qquad\textbf{e)}\ 1 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Her adımda bir önceki şeklin boş alanlarının $\frac{1}{4}$'ü boyanıyor. Yani ilk adımda $T_1=\frac{S}{4}$ boyalı kısım, ikincide $T_2=T_1+\frac{S-T_1}{4}=\frac{S+3T_1}{4}=\frac{7S}{16}$ ve genel haliyle $n.$ adımda $T_n=T_{n-1}+\frac{S-T_{n-1}}{4}=\frac{S}{4}+\frac{3T_{n-1}}{4}$ boyalı kısım vardır. Genel formülü bulmak için öncelikle $\frac{S}{4}$ terimini yok etmeye çalışalım. Bunun için de $a_n=T_n+A$ diyelim. $$4T_n=S+3T_{n-1}\implies 4a_n+4A=S+3a_{n-1}+3A$$ Dolayısıyla $A=S$ seçersek, $4a_n=3a_{n-1}$ bulunur. $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı $\frac{3}{4}$'dür. Genel formülü ise $a_n=a_1\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ elde edilir.

$T_1=a_1+S$ olduğundan $a_1=-\frac{3S}{4}$ ve $a_n=-\frac{3^n}{4^n}S$ elde edilir. Dolayısıyla $T_n=S\left(1-\frac{3^n}{4^n}\right)$ elde edilir. Aradığımız limit, $$\lim_{n\to \infty} \frac{T_n}{S}=\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{3^n}{4^n}\right)=1-0=1$$ bulunur.

Görsel üzerinden bakarsak da giderek her yerin boyandığı tahmin edilebilir. Başka bir yöntem olarak da üçgen içerisindeki herhangi bir noktanın boyanıp boyanmayacağını incelenebilir.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Çözüm 2:

Her adımda oluşan mavi üçgenlerin sayısı sırasıyla $1, 3, 3^2, \dots$ şeklinde geometrik olarak artmaktadır. Ayrıca ardışık adımlarda oluşan üçgenlerin benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan alanlar oranı da $\dfrac{1}{4}$ olur. İlk boyalı alan $A_1 = \dfrac{S}{4}$ tür. İkinci boyalı alanda $3$ tane yeni üçgen oluştuğu için $A_2 = 3\cdot \dfrac{A_1}{4} = 3\cdot \dfrac{S}{16} $ olur. Genel olarak $A_{n+1} = 3\cdot \dfrac{A_n}{4}$ tür. Bu ise $(A_n)$ nin, $\dfrac{3}{4}$ ortak çarpanına sahip bir geometrik dizi olduğunu gösterir.

$$ T_n = A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n = \dfrac{S}{4} + \dfrac{3S}{16}  + \dfrac{9S}{64} + \cdots  + \dfrac{3^{n-1}S}{4^n} $$

olup sonsuz geometrik toplam formülünden

$$ \lim_{n\to \infty} \left(T_n \right) = \dfrac{S}{4}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{4}} = S $$

elde edilir. Böylece, $ \displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \dfrac{T_n }{S} = \dfrac{S}{S} = 1}$ elde edilir.