Gönderen Konu: 2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04  (Okunma sayısı 878 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04
« : Şubat 04, 2023, 05:48:35 ös »
$|AB|=15,\ |BC|=18$  ve $|CA|=21$  olan $ABC$  üçgeninin iç bölgesinden bir $D$ noktası alınıyor. $[AD],\ [BD]$ ve $[CD]$'nin orta noktaları sırasıyla $E,\ F$ ve $G$  olsun. $[AF]$ ile $[BE]$'nin kesişimi $H;\ [BG]$ ile $[CF]$'nin kesişimi $K$ ve $[CE]$ ile $[AG]$'nin kesişimi de $L$ ise $EHFKGL$ altıgeninin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 20\sqrt6  \qquad\textbf{b)}\ 18\sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 21\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 15\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt6$
« Son Düzenleme: Şubat 11, 2024, 02:35:47 ös Gönderen: Lokman Gökçe »

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04
« Yanıtla #1 : Şubat 11, 2024, 02:34:21 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

$ABD$, $BCD$, $CAD$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri (centroid) sırasıyla $H$, $K$, $L$ noktalarıdır. Ağırlık merkezinin özelliği olarak,
$$
\begin{aligned}
Alan(DEHF) &= \dfrac{1}{3}Alan(ABD) \\
Alan(DFKG) &= \dfrac{1}{3}Alan(BCD) \\
Alan(DGLE) &= \dfrac{1}{3}Alan(CAD)
\end{aligned}
$$
eşitlikleri vardır. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak, $Alan(EHFKGL) = \dfrac{1}{3}Alan(ABC)$ olur. $ABC$ üçgeninin yarı çevresi $u=\dfrac{15+18+21}{2}=27$ olduğundan Heron formülünden,
$$ Alan(ABC) = \sqrt{27(27-15)(27-18)(27-21)}=54\sqrt{6}$$
elde edilir. $Alan(EHFKGL) = \dfrac{1}{3}\cdot 54\sqrt{6} = 18\sqrt{6}$ sonucuna ulaşılır.


Not: Benim hazırladığım problemlerden biriydi. Hazırladığım çözümü burada paylaşayım.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal