Üçgenin Özel Noktaları

[Lokman Gökçe]

Problem: Bir üçgenin kenarını çap olarak kabul eden üç çember çiziliyor. Bu çemberlerin kuvvet merkezi, üçgenin hangi özel noktasıdır?

$  \textbf{a)}\ \text{İç teğet çemberin merkezi} \qquad\textbf{b)}\ \text{Çevrel çemberin merkezi} \qquad\textbf{c)}\ \text{Ağırlık Merkezi} \qquad\textbf{d)}\ \text{Diklik Merkezi} \qquad\textbf{e)}\ \text{Fermat Noktası} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$ABC$ üçgeninde $[BC], [CA], [AB]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D, E, F$ olsun. Bu kenarlara (gerekirse uzantılarına) inen dikme ayakları da $G, J, I$ olsun. $ABC$ üçgeninin diklik merkezini $H$ noktası ile gösterelim. Çapı gören çevre açı $90^\circ $ olduğundan, $D$ merkezli ve $[BC]$ çaplı $c_1$ çemberi $J, I$ noktalarından geçer. Benzer şekilde $c_2$ çemberi $I, G$ noktalarından geçer. $c_3$ çemberi $J, G$ noktalarından geçer. Böylece

$c_2, c_3$ çemberlerinin kuvvet ekseni $AG$ yükseklik doğrusu,
$c_3, c_1$ çemberlerinin kuvvet ekseni $BJ$ yükseklik doğrusu,
$c_1, c_2$ çemberlerinin kuvvet ekseni $CI$ yükseklik doğrusu,

olup bu üç kuvvet ekseninin (yüksekliklerin) kesişimi $H$ noktasıdır. Yani $ABC$ üçgeninin diklik merkezidir.