Çemberin Analitiği - Teğet

[Lokman Gökçe]

Soru [Lokman Gökçe]: $a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere analitik düzlemde bir çember $ax-by=0$ doğrusuna teğettir çember ve $x$ eksenine de $T(c,0)$ noktasında teğettir. Çemberin yarıçapının alabileceği değerler çarpımı, aşağıdakilerden hangisine daima eşittir?

$  \textbf{a)}\ a^2 + b^2 \qquad\textbf{b)}\ c^2 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{c^2a^2}{b^2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{c^2b^2}{a^2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a^2 + b^2}{c^2} $

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{B}$

Çözüm : Aradığımız çemberlerin merkezleri $D$ ve $F$; yarıçapları ise $r$ ve $R$ olsun. $BD$ ve $BF$ açıortay oldukları için $m(\widehat{DBF})=90^{\circ}$ olur. Son olarak $DBF$ dik üçgeninde öklit uygularsak

$Rr=c^2$ elde ederiz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm için teşekkürler @matematikolimpiyati. En kısa ve kolay olanı olarak düşündüğüm çözümü bulmuşsunuz, tebrikler.


Çözüm 2 (Analitik): Aranan çemberlerin merkezleri birinci bölgede ve dördüncü bölgededir. Çemberlerden birinin merkezini $M(c, r)$ ile gösterelim. $r>0$ durumunda $M$ birinci bölgededir, $r<0$ durumunda $M$ dördüncü bölgededir. Merkez noktası için, noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullanırsak

$$ \dfrac{|ac-br|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = |r| $$

olmalıdır. $r>0$ iken $|ac-br| = r\sqrt{a^2 + b^2} $ olup $ac= br \mp r\sqrt{a^2 + b^2}$ yazılır. Uygun pozitif değer $r_1 = \dfrac{ac}{b + \sqrt{a^2 + b^2}}$ olur.

$r<0$ iken yarıçap $|r|=-r$ olacaktır. Bu durumda, $|ac-br| = - r\sqrt{a^2 + b^2} $ olup uygun negatif değer $r_2 =  \dfrac{ac}{b - \sqrt{a^2 + b^2}}$ olur. O halde yarıçap $|r_2| = \dfrac{ac}{-b + \sqrt{a^2 + b^2}}$ değeridir. Böylece yarıçaplar çarpımı,

$$ r_1 \cdot |r_2| = \dfrac{a^2 c^2} {(b + \sqrt{a^2 + b^2})(-b +\sqrt{a^2 + b^2})} = \dfrac{a^2 c^2}{a^2} = c^2 $$

elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Euclid geometri kullanabileceğimiz bir başka çözüm de şöyledir.

Çözüm 3 (Euclid Geometri): Şekilde $|AB|=|EF| = 2c$ dir. Çemberlerin yarıçapları $r_1 < r_2$ olmak üzere $EFD$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak $(r_2 - r_1)^2 + (2c)^2 = (r_2 + r_1)^2 \implies 4r_1r_2 = 4c^2$ bulunur. Buradan $r_1r_2 = c^2$ elde edilir.