Kapalı Fonksiyonun Türevi ve Normalin Eğimi

[Lokman Gökçe]

Problem: Analitik düzlemde $y=x+\cos(xy)$ denklemiyle verilen eğrinin $(0,1)$ noktasındaki normal doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?

$  \textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ -1 \qquad\textbf{e)}\ \text{Tanımsız} $

[alpercay]

Yanıt $\boxed{d}$

Türev alınarak bulunan $y'=1-(y+xy')\sin(xy)$ eşitliğinde $y'$ yalnız bırakılarak eğrinin teğetinin eğim bağınıtısı $$y'=\dfrac{1-y\sin(xy)}{1+x\sin(xy)}$$ olarak bulunur. Buna göre $(0,1)$ noktasında eğrinin teğetinin eğimi $$y'(0,1)=m_t=1$$ olur.
Normalin eğimini $m_n$ ile gösterirsek $m_n\cdot m_t=-1$ eşitliğinden $$m_n=-1$$ bulunur.