Yanıt: $\boxed{D}$
Bence de en rahat yol, limiti belirli integrale dönüştürmektir. Şıklardan ilerlemeye çalışırsak şöyle oluyor:
Toplam formüllerini kullanırsak,
$k=1$ için $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1 + 2 + 3+ \cdots + n}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)/2}{n^{2}} = \dfrac{1}{2}$. Bu bize $\textbf{(b), (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir.
$k=2$ için $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}{n^{3}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)(2n+1)/6}{n^{3}} = \dfrac{1}{3}$. Bu bize halen $\textbf{(b), (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir.
$k=3$ için $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{n^{4}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2(n+1)^2/4}{n^{4}} = \dfrac{1}{4}$. Bu bize $\textbf{ (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir. Gördüğünüz gibi $\textbf {(c)}$ şıkkındaki ifade çok dirayetli çıktı ve $k=1,2,3$ için
$$ \left| \dfrac{k^2-7k}{18k-6} \right| = \dfrac{1}{k+1} $$
olmaktadır.
$k=4$ için $1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \dfrac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ olduğunu kullanmak gerekecek. (Bunu ezberlemiyorum ama ispatlayabilirim.) Buna göre, $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4}{n^{5}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30}{n^{5}} = \dfrac{1}{5}$ olur. $\textbf{(c)}$ şıkkında $k=4$ için $\dfrac{2}{11}$ elde edildiğinden artık onun da dirayeti kırıldı. Cevap $\textbf{(d)}$ olmalıdır.
$\color{red} {\textbf{ Not:}} $ $k>0$ tam sayı verilmişti ama bunun problemde bir
Red Herring olduğunu belirtmekte fayda var. Yani $k=0$ da alınabilir. Bu halde, $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^0 + 2^0 + 3^0 + \cdots + n^0}{n^{1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n} = 1 $ olur. $k=0$ için $1$ sonucu veren seçenek sadece $\textbf{(d)}$ dir.