1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem

[Lokman Gökçe]

Problem [Lokman GÖKÇE]: $y' + \dfrac{4}{x}y = \dfrac{4x^2 + 6}{x^3} $ diferansiyel denkleminin $y(2)=3$ koşulunu sağlayan çözümü için $y(1)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a) } 20  \qquad \textbf{b) } 21  \qquad\textbf{c) } 22  \qquad\textbf{d) } 23  \qquad\textbf{e) } 24  $





Notlar:

$\bullet$ Malum, soru hırsızlığı konusundan dolayı $2022$ KPSS iptal edildi. Hırsızlara kapıyı içeriden açanların da ortaya çıkarılması dileğiyle, adaylara geçmiş olsun diyorum.

$\bullet$ Matematik ÖABT'ye girecek adaylar için kamuya açık olarak soru-çözüm paylaşarak küçük bir katkı vermiş olalım. Forum içinde başka sorular da paylaşmıştık. Örneğin Bozuk Düzen (Düzensiz Dizilişler) içerikli sorumuz gibi. İyi çalışmalar diliyorum.

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{E}$

Önce verilen denklemin integral çarpanını bulalım :

$I(x)=e^{\int{\frac{4}{x}} dx} = e^{4 \ln x} = x^4$

Şimdi denklemi $x^4$ ile çarpalım :

$x^4y'+4x^3y=4x^3+6x \implies (x^4y)'=4x^3+6x \implies x^4y=x^4+3x^2+c \implies y=1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{c}{x^4}$

Bu son elde ettiğimiz denklemde $y(2)=3$ değerini yazarsak $3=1+\dfrac34+\dfrac{c}{16}$ ve buradan da $c=20$ buluruz.

Son olarak $x=1$ yazarsak $y(1)=1+3+20=24$ elde ederiz.

[alpercay]

Denklem $y'+a(x)y=b(x)$ formatında verilmiş.
$u=u(x),v=v(x)$ olmak üzere $y=uv$ ve  $y'=uv'+u'v$ dönüşümü yaparak $$u'v+u(\dfrac{4v}{x}+v')=\dfrac{4}{x}+\dfrac{6}{x^3}$$ denklemini elde edebiliriz.
Önce $\dfrac{4v}{x}+v'=0$ homojen diferensiyel denklemini çözelim:
Denklem $$\dfrac{dv}{v}=-4\dfrac{dx}{x}$$ şeklinde değişkenlerine ayrılabilir diferensiyel denklem olduğundan integre ederek $$v=\dfrac{1}{x^4}$$ bulunur. Bu değer verilen denklemde yerine yazılırsa ($\dfrac{4v}{x}+v'=0$ ) $$\dfrac{u'}{x^4}=\dfrac{4}{x}+\dfrac{6}{x^3}$$ $$du=(4x^3+6x)dx$$ eşitliğinden $$u=x^4+3x^2+c$$ bulunur.

Ana değişkenlere dönerek $$y(x)=1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{c}{x^4}$$  ve $y(2)=3$ verisinden $c=20$ ve sonuç olarak $$y(x)=1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{20}{x^4}$$ $$y(1)=24$$ bulunur.