Cevap: $\boxed{B}$
$2020$ sayısını asal çarpanlarına ayırırsak $2^2\cdot 5\cdot 101$ elde ederiz. $$x^2+y^2=2020$$ denklemi için sağ taraf $4$ ile bölündüğünden sol taraf da bölünmelidir. $$x^2+y^2\equiv 0 \pmod{4}\Rightarrow x\equiv y\equiv 0\pmod{2}$$ olacaktır, yani $x$ ve $y$ çifttir. $x=2a$ ve $y=2b$ dersek $$a^2+b^2=505=5\cdot 101$$ olur. $a_1^2+b_1^2=5$ denkleminin çözümleri $(a_1,b_1)=(1,2),(2,1)$ ve $a_2^2+b_2^2=101$ denkleminin çözümleri $(a_2,b_2)=(1,10),(10,1)$'dir. $$(c^2+d^2)(m^2+n^2)=(cm+dn)^2+(cn-dm)^2=(cm-dn)^2+(cn+dm)^2$$ olduğundan $$505=5\cdot 101=(1^2+2^2)(1^2+10^2)=(1\cdot 1+2\cdot 10)^2+(1\cdot 10-2\cdot 1)^2=(1\cdot 1-2\cdot 10)^2+(1^\cdot 10+2\cdot 1)^2$$ olur. Buradan $(a,b)=(21,8),(19,12)$ bulunur. ($-19$ yerine $19$ yazdık çünkü tam sayılarda $a$ bir çözümse $-a$ da bir çözümdür fakat biz pozitifi arıyoruz, ayrıca simetrileri de aynı sayıldığından eklemedik.) Şimdi bu denklem için başka çözüm olmadığını gösterelim. Bunun için elde ettiğimiz çözümler dışında da çözüm olduğunu varsayalım. Bu çözüm $(a,b)=(u,v)$ olsun. $$u^2+v^2\equiv 0\pmod{5}\Rightarrow \left (\dfrac{u}{v}\right )^2\equiv -1\pmod{5}\Rightarrow \dfrac{u}{v}\equiv 2,-2\pmod{5}$$ olur. Benzer şekilde $$u^2+v^2\equiv 0\pmod{101}\Rightarrow \left (\dfrac{u}{v}\right )^2\equiv -1\pmod{101}\Rightarrow \dfrac{u}{v}\equiv 10,-10\pmod{101}$$ olur. (Burada önemli olan $10$ ve $-10$ değerlerini bulmak değil sadece $2$ çözüm olacağını bulmaktır ki bunu da $4k+1$ formatındaki asal sayılar için genellemek zor değildir.) Elde ettiğimiz iki denklemi birleştirirsek, $$\dfrac{u}{v}\equiv r,t,-r,-t \pmod{505}$$ olacak şekilde $4$ değer alabilir. (Her iki eşitlikte de iki durum olduğundan toplam $4$ çözüm olacaktır ve çözümler birbirinin toplama işlemine göre tersi olduğundan ortak çözümler de ikişerli olarak toplama işlemine göre ters olacaktır.) Elde ettiğimiz çözümleri incelersek $$\dfrac{21}{8}\not\equiv \dfrac{19}{12} \pmod{505}$$ ve $$\dfrac{21}{8}\not\equiv -\dfrac{19}{12} \pmod{505}$$ olduğundan genelliği bozmadan $\dfrac{21}{8}\equiv r \pmod{505}$ ve $\dfrac{19}{12}\equiv t \pmod{505}$ diyebiliriz. (Bu değerler birer çözüm olduğundan bölümleri
$505$ modunda $r,t,-r,-t$ değerlerinden birine eşit olmalı.)
i) $\dfrac{u}{v}\equiv r \pmod{505}$ ise $\dfrac{u}{v}\equiv \dfrac{21}{8}\equiv r \pmod{505}$ dolayısıyla $u\equiv vr\pmod{505}$ ve $21\equiv 8r\pmod{505}$ olur. Bu ikisini taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-21)\equiv (v-8)r\pmod{505}\Rightarrow (u-21)^2\equiv -(v-8)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-21)^2+(v-8)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $u^2+v^2=505$ olduğundan $u,v<\sqrt{505}$ olmalıdır. (Eşit olamayacağı açıktır.) Dolayısıyla $$(u-21)^2+(v-8)^2<(\sqrt{505})^2+(\sqrt{505})^2=1010$$ olur. Ayrıca ifade $505$'in katı olacağından $(u-21)^2+(v-8)^2=505$ olmalıdır. $$(u-21)^2+(v-8)^2=u^2+v^2+21^2+8^2-42u-16v=1010-42u-16v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.
ii) $\dfrac{u}{v}\equiv t \pmod{505}$ ise $\dfrac{u}{v}\equiv \dfrac{19}{12}\equiv t \pmod{505}$ dolayısıyla $u\equiv vt\pmod{505}$ ve $19\equiv 12t\pmod{505}$ olur. Bu ikisini taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-19)\equiv (v-12)t\pmod{505}\Rightarrow (u-19)^2\equiv -(v-12)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-19)^2+(v-12)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $$(u-19)^2+(v-12)^2<(\sqrt{505})^2+(\sqrt{505})^2=1010$$ olur. Ayrıca ifade $505$'in katı olacağından $(u-19)^2+(v-12)^2=505$ olmalıdır. $$(u-19)^2+(v-12)^2=u^2+v^2+19^2+12^2-38u-24v=1010-38u-24v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.
iii) $\dfrac{u}{v}\equiv -r \pmod{505}$ ise $u\equiv -vr\pmod{505}$ ve $21\equiv 8r\pmod{505}$ olur. İkinci ifadeyi $r$ ile çarparsak $8\equiv -21r\pmod{505}$ olur. İfadeleri taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-8)\equiv (21-v)r\pmod{505}\Rightarrow (u-8)^2\equiv -(21-v)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-8)^2+(21-v)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $$(u-8)^2+(21-v)^2<2\cdot (\sqrt{505})^2=1010$$ olur. İfade $505$'in katı olacağından $(u-8)^2+(21-v)^2=505$ olmalıdır. $$(u-8)^2+(21-v)^2=u^2+v^2+21^2+8^2-16u-42v=1010-16u-42v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.
iv) $\dfrac{u}{v}\equiv -t \pmod{505}$ ise $u\equiv -vt\pmod{505}$ ve $19\equiv 12t\pmod{505}$ olur. İkinci ifadeyi $t$ ile çarparsak $12\equiv -19t\pmod{505}$ olur. İfadeleri taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-12)\equiv (19-v)t\pmod{505}\Rightarrow (u-12)^2\equiv -(19-v)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-12)^2+(19-v)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $$(u-12)^2+(19-v)^2<2\cdot (\sqrt{505})^2=1010$$ olur. İfade $505$'in katı olacağından $(u-12)^2+(19-v)^2=505$ olmalıdır. $$(u-12)^2+(19-v)^2=u^2+v^2+12^2+19^2-24u-38v=1010-24u-38v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.
Dolayısıyla sadece $(a,b)=(19,12),(21,8)$ çözümleri vardır. Yani $(x,y)=(38,24),(42,16)$ çözümlerini elde ederiz.
Not 1: Bu sorunun daha kısa deneme-yanılma yollarıyla çözülebileceğinin farkındayım fakat matematiksel olarak eksiksiz bir çözüm yapmak istediğimden bu uzun yolu gösterdim.
Not 2: Bu sorunun genel halini yani $x^2+y^2=n$ denkleminin doğal sayılarda ve $(x,y)$ ile $(y,x)$ farklı çözümler olacak şekildek toplam çözüm sayısını daha önce yaptığım bir çalışmada elde etmiştim. (Araştırmam sırasında internette bu bulguyu gösteren bir kaynakla karşılaşmamıştım.) Öyle ki, $q_i$ asal sayıları $4k+3$ formunda ve $p_j$ asal sayıları $4k+1$ formunda olmak üzere, $n=2^a\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\cdot q_1^{\beta_1}\cdot q_2^{\beta_2}\cdots q_m^{\beta_m}$ için, $$x^2+y^2=n$$ denkleminin çözüm sayısı,
i) Eğer $\beta_1,\beta_2,\dots\beta_m$'den en az biri tekse $0$,
ii)Eğer $\beta_1,\beta_2,\dots\beta_m$'nin hepsi çiftse $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)+\dfrac{1-(-1)^{(a+1)(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)}}{2}$$ 'dir.
