65 ile bölünebilme - Polinom Denklik

[Lokman Gökçe]

Problem (Lokman GÖKÇE): $0\leq n \leq 260$ olmak üzere $n^{12}+n^2-5$ ifadesinin $65$ ile tam bölünebilmesini sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?


$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 28 \qquad\textbf{e)}\ 32 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$65=5\cdot 13$ olur.
$n^{12}+n^2-5 \equiv 0 \pmod{5}$ denkliğinde $n\equiv 0 \pmod{5}$ bir çözümdür. $n \not\equiv 0 \pmod{5}$ için bakalım. Fermat teoremine göre $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$ olup ilk denklikte yazılırsa $n^2-4\equiv 0 \pmod{5}$ olur. Buradan $n\equiv \mp 2 \pmod{5}$ çözümleri elde edilir. Toplamda üç çözüm $n\equiv 0, \mp 2 \pmod{5}$ dir.

Benzer biçimde $n^{12}+n^2-5 \equiv 0 \pmod{13}$ incelenirse $n^2-4\equiv 0 \pmod{13}$ haline indirgenir. Bu denkliğin çözümleri de $n\equiv \mp 2 \pmod{13}$ olup iki tanedir.

Çin kalan teoremi ile $n^{12}+n^2-5 \equiv 0 \pmod{65}$ denkliğinin $\mathbb Z_{65}$ içinde $3\cdot 2 =6$ farklı çözümü vardır. $1\leq n \leq 260$ aralığında $\dfrac{260}{65}=4$ er kez bu çözümler görülür. Yani $1\leq n \leq 260$ aralığında $6\cdot 4 = 24$ çözüm vardır.

$n=0$ değeri $\mathbb Z_{65}$ içinde bir çözüm olmadığından zaten bunu almıyoruz.