Üç tam karenin toplamı

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe):

$x,y,z \in \mathbb Z$ olmak üzere, aşağıdaki sayılardan hangisi $x^2 + y^2 + z^2$ biçiminde yazılamaz?

$
\textbf{a)}\ 3405
\qquad\textbf{b)}\ 4109
\qquad\textbf{c)}\ 4242
\qquad\textbf{d)}\ 4727
\qquad\textbf{e)}\ 5323
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\mod 8$'de bir sayının karesinin $0,1,4$ olabildiği olgusunu kullanırsak  bu üç sayıyı toplayarak $\mod 8$'de $7$ kalanı elde edilemez. O zaman $8k+7$ şeklinde yazılan sayılar üç karenin toplamı olamaz diyebiliriz. Buna göre $4727$ sayısı $8k+7$ şeklinde yazılabildiğinden üç karenin toplamı olamaz.

[alpercay]

Genel hal için Legendre's three-square theorem e bakınız.