Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2004 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenarı, $E$ noktası da $[AB]$ kenarı üstünde olmak üzere, $[AD]$ ve $[CE]$ iç açıortayları çiziliyor. $B$ köşesinden $AD$ ve $CE$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $K$ ve $M$ olmak üzere, $|BK| = |BM|$ ise, $ABC$ üçgeninin ikizkenar olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): $[AD]$ ve $[CE]$ iç açıortayları $I$ noktasında kesişsin. $[BI$ da bir iç açıortay olduğundan $m(\widehat{ABI}) = m(\widehat{CBI})$ yazılır. Diğer taraftan $BMI$ ve $BKI$ dik üçgenlerinde $|BI|$ hipotenüsü ortaktır. $|BM|=|BK|$ verildiğinden Pisagor teoremi gereğince bu dik üçgenlerin üçüncü kenarları da birbirine eşit olmalıdır. $|MI|=|KI|$ bulunur. $BMI \cong BKI$ (kenar-kenar-kenar) eşliği olup $ m(\widehat{MIB}) = m(\widehat{KIB}) $ dir. Ters açılardan $m(\widehat{AIE}) = m(\widehat{CID})$ dir.

Bundan sonra çözümü şu iki yoldan biriyle tamamlayabiliriz:

$m(\widehat{AIB}) = m(\widehat{CIB})$ olup $AIB \cong CIB$ (kenar - açı - kenar) eşliği vardır. $|AB|=|CB|$ dir, $ABC$ üçgeni ikizkenardır.

Ya da

$AIB$ ve $CIB$ üçgenlerinin ikişer açısı eşit olduğundan üçüncü açıları da birbirine eşittir: $m(\widehat{BAI}) = m(\widehat{BCI})$ olup $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA})$ elde edilir. Yine, $ABC$ üçgeni ikizkenardır.