Sonlu Grup

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe): $G$ sonlu bir grup olsun. Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

I. $H$, $G$ nin bir alt grubu ise $H$ nın mertebesi, $G$ nin mertebesini böler.

II. Her $a \in G$ için, $a$ nın mertebesi $G$ nin mertebesini böler.

III. $G$ nin mertebesi asal sayı ise, $G$ bir devirli gruptur.

$
\textbf{a)}\ \text{Yalnız I}
\qquad\textbf{b)}\ \text{Yalnız III}
\qquad\textbf{c)}\ \text{II ve III}
\qquad\textbf{d)}\ \text{I ve II}
\qquad\textbf{e)}\ \text{I, II ve III}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

I. Verilen ifade Lagrange Teoremi'nin ifadesi olup doğrudur.

II. $a$ nın mertebesi $n$ olsun. $a$ tarafından üretilen alt grubu $\left<a\right>$ ile gösterirsek $\left<a\right>=\{ a, a^2,a^3,\dots, a^n = e \}$ dir. $\left|\left<a\right>\right|=n$ olup Lagrange Teoremi gereğince $n$, $|G|$ yi tam böler. ($e \in G$ ile birim elemanı gösteriyoruz.)

III. $|G|=p$ asal sayı olsun. Madde II'ye göre bir $a \neq e$ için $|\left<a\right>|$ mertebesi $p$ yi bölmelidir. Buradan $|\left<a\right>|=1$ veya $|\left<a\right>|=p$ olur. Ancak $a \neq e$  seçtiğimizden $|\left<a\right>|=p$ dir. Üstelik $|G|=p$ olduğundan $G=\left<a \right>$ dir. $G$ bir tek $a$ elemanı yardımıyla üretilebildiğinden, devirli gruptur.