Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): $T: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$, $T(x,y)=(2x+5y, x+3y)$ lineer dönüşümünün  $T^{-1}$ ters dönüşümünün matris gösterimi nedir?

$
\textbf{a)}\ \left[\begin{array}{cc}2&5\\1&3\end{array}\right]
\qquad\textbf{b)}\ \left[\begin{array}{cc}2&1\\5&3\end{array}\right]
\qquad\textbf{c)}\ \left[\begin{array}{cc}3&-1\\-5&2\end{array}\right]
\qquad\textbf{d)}\ \left[\begin{array}{cc}3&-5\\-1&2\end{array}\right]
\qquad\textbf{e)}\ \text{Yoktur}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Çözüm 1: $T^{-1}$ ters dönüşümünü bulmak için $(2x+5y, x+3y)=(a,b)$ diyelim. Buradan $x$ ve $y$ değerlerini $$\begin{array}{lcr}
x  & = & 3a-5b \\
y  & = & -a +2b
\end{array}$$ biçiminde çözebiliriz. Dolayısıyla $T^{-1}=(3x-5y,-x+2y)$ elde edilir. Bu ters dönüşümün matris gösterimi $\left[\begin{array}{cc}3&-5\\-1&2\end{array}\right]$ dir.

Çözüm 2: $T(x,y)=(2x+5y, x+3y)$ lineer dönüşümünün matris gösterimi $A=\left[\begin{array}{cc}2&5 \\ 1&3\end{array}\right]$ dir. $A^{-1}$ ters matrisi de $T^{-1}$ ters dönüşümünün matris gösterimidir. $\det (A)=2\cdot 3 - 1\cdot 5 = 1$ olduğundan $A^{-1}= \left[\begin{array}{cc}3&-5\\-1&2\end{array}\right]$ bulunur.