kısmi sıralama bağıntısı

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): $X=\{ 1,2,3\}$ kümesinin $\varnothing $ dışındaki tüm alt kümelerinin kümesi  $L(X)$ olsun. $L(X)$ kümesi üzerinde $ \beta = \left \{ (A,B): A, B \in L(X) \text {  ve } A \subseteq B \right \}$ kısmi sıralama bağıntısı tanımlanıyor. $\beta$ bağıntısına göre $L(X)$ kümesi ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ Tam sıralı kümedir.

$\textbf{b)}$ İyi sıralı kümedir.

$\textbf{c)}$ Üç tane minimal eleman vardır ve bunar $\{ 1\}, \{ 2\}, \{ 3\} $ tür.

$\textbf{d)}$ Üç tane maksimal eleman vardır ve bunar $\{ 1, 2\}, \{ 1,3\}, \{ 2,3\} $ tür.

$\textbf{e)}$ En büyük (maksimum) eleman yoktur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Verilen $\beta$ bağıntısına göre Hasse diyagramını çizelim ve seçenekleri inceleyelim.

$\textbf{c)}$ seçeneğinde $L(X)$ içinde $\{ 1\}, \{ 2\}, \{ 3\}$ alt kümelerinden daha küçük (bunların alt kümesi olan) alt küme yoktur. Dolayısıyla $L(X)$ in en küçük elemanları üç tanedir ve bunlar $\{ 1\}, \{ 2\}, \{ 3\}$  tür.
$\textbf{d)}$ ve $\textbf{e)}$ seçeneklerinin yanlış olduğunu da görelim.$L(X)$ içinde $\{ 1,2\}, \{ 1,3 \}, \{ 2, 3\}$ kümelerinin her birini kapsayan $X=\{ 1,2,3\}$ kümesi vardır. Bir tane maksimal eleman vardır ve bu eleman $X$ tir. Aynı zamanda $X$, en büyük (maksimum) elemandır.

Hatırlatma: Bu problemde en küçük (minimum) eleman yoktur. Ancak $\varnothing$ (boş küme) de $L(X)$ içinde verilseydi; $\varnothing$  hem mimimal eleman, hem de minimum eleman olurdu.