Cisimlerde Hacim ve Uzunluk Bulma

[MATSEVER 27]

İçi boş bir küpün içine $r$ yarıçaplı dolu bir küre yerleştirelim. Küpü $A$ birimküp su ile doldurduğumuzda küp tamamen dolmuş oluyor. Bu küreyi çıkartıp yerine $r$ yarıçaplı $r$ birim yükseklikte dolu bir silindir koyuyoruz. Kalan kısmı $B$ birimküp suyla dolduruyoruz. Her bir ayrıtı $\dfrac{A}{B}$ birime eşit olan bir $G$ küpü alalım. $G$ küpünün cisim köşegenini $X,Y,Z$ noktaları ile $4$ eşit parçaya ayıralım. $M$ bu küpün köşegen üstüne yer almayan bir köşesi olsun. $|MX|+|MY|+|MZ|$ en az kaçtır? ($\pi=3$ alınız.) (Küpün içinde küre çıkarıldıktan sonra içindeki su boşaltılmıştır.)

$\mathbf{a)}$ ${ 2+\sqrt{13}+\sqrt{29}}$                    $\mathbf{b)}$ ${ 3+2\sqrt{3}+\sqrt{19}}$                    $\mathbf{c)}$ ${ 1+3\sqrt{5}+\sqrt{11}}$                    $\mathbf{d)}$ ${ 7+2\sqrt{10}}$                    $\mathbf{e)}$ $\text{ Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

$\pi = 3$ durumunda  küpün içinden küre çıkarıldıktan sonra su seviyesi küpün yarısındadır. Bu aşamada küpün içine silindir yerleştirilirse, silindirin hacmi, küpün hacminin $\frac34$ ü kadar olduğundan $\frac14$ oranında su taşar. Dolayısıyla $B$ birim küp su koyamıyoruz. Problemde küpün içinde küre çıkarıldıktan sonra içindeki suyun da boşaltıldığı verilmelidir. Buna göre çözelim.

Yanıt: $\boxed{E}$

$A=8r^3-\frac43\pi r^3 = 4r^3$ olur. Silindiri küpün tabanına oturacak biçimde yerleştirirsek boşta kalan taban alanı, karenin tabanının $\frac14$ ü kadardır. Böylece $B=2r^3$ birim su eklenir. $\dfrac{A}{B}=2$ dir.

Şimdi $2$ birim ayrıt uzunluğuna sahip bir küpün bir cisim köşegeni üstünde $X,Y,Z$ noktalarını alalım. $M$ köşesi bu cisim köşegeni üstünde değilse, diğer altı köşeden hangisi olarak seçilirse seçilsin $|MX|+|MY|+|MZ|$ sabit olarak gelir. $Y$ noktasının küpün merkezi olduğunu varsayabiliriz. Cisim köşegeni uzunluğu $2\sqrt3$ olduğundan $|MY|=\sqrt3$ tür. $|MX|=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ ve $|MZ|=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ olarak hesaplanır. $|MX|+|MY|+|MZ|=\dfrac{5\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$ olur.