fermat teoremi

[MATSEVER 27]

$2015^{2016^{2016}}+2016^{2015^{2015}}$ ifadesi $\pmod {2017}$ de kaça denktir?

$\mathbf{a)}$ $0$                    $\mathbf{b)}$ ${ 32}$                    $\mathbf{c)}$ ${ 47}$                    $\mathbf{d)}$ ${ 2015}$                    $\mathbf{e)}\text{ Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$2016 \equiv -1 \pmod {2017}$ ve $2015^{2015}$ tek sayı olduğundan $2016^{2015^{2015}} \equiv -1 \pmod {2017}$ dir. Ayrıca $2015 \equiv -2 \pmod {2017}$ ve $2016^{2016}$ çift sayı olduğundan $2015^{2016^{2016}} \equiv 2^{2016^{2016}} \pmod{2017}$ dir. $2017$ bir asal sayı ve $(2,2017)=1$ olduğundan Fermat Teoremi'ne göre $2^2016\equiv 1 \pmod{2017} $ dir. Dolayısıyla  $2^{2016^{2016}}\equiv 1 \pmod{2017} $ olur. Böylece $$ 2015^{2016^{2016}}+ 2016^{2015^{2015}} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{2017}$$ dir.