sayma

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): $5$ farklı renkte bilye Ali, Betül, Ceyda arasında her biri en az bir bilye alacak biçimde dağıtılacaktır. Ali'ye kırmızı renkli bilye verildiğine göre, diğer bilyeler kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

$
\textbf{a)}\ 48
\qquad\textbf{b)}\ 49
\qquad\textbf{c)}\ 50
\qquad\textbf{d)}\ 51
\qquad\textbf{e)}\ 52
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Ali kırmızı renkli bilyeyi aldığı için geriye kalan $4$ bilye üç kişiye $3^4$ yolla dağıtılır. Ancak bu dağıtımda Betül veya Ceyda'nın hiç bilye almadığı durumlar vardır. Bu istenmeyen durumları çıkarmalıyız: $\binom{2}{1}2^4$. Bu istenmeyen durumlar içinde de ne Betül'ün ne de Ceyda'nın bilye aldığı durumlar iki kez hesaplanmıştır. Bunlar $\binom{2}{2}1^4$ tanedir. İçerme dışarma prensibiyle, istenen durumların sayısı
$$ 3^4- \binom{2}{1}2^4 + \binom{2}{2}1^4 = 50$$
olarak hesaplanır.