Limit-İntegral Sorusu

[MATSEVER 27]

$\lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a}$ $\int \limits_{0}^{\pi} \tan(a \sin(x))dx$ nedir?

$\mathbf{a)0}$                    $\mathbf{b)1}$                    $\mathbf{c)2}$                    $\mathbf{d)3}$                    $\mathbf{e)-1}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\int \limits_{0}^{\pi} \tan(a \sin(x))dx$ integralinde $u=a\sin(x)$ dönüşümü yapılırsa $x_1=0$ için $u_1=0$ ve $x_2=\pi$ için $u_2=0$ olur. İntegrand ise $\dfrac{\tan(u)}{\sqrt{a^2-u^2}}$ dir. Belirli integralin başlangıç ve bitiş sınırları aynı olduğu için değeri $0$'a eşittir. Buna göre

$\lim_{a \to 0} \dfrac{0}{a}=\lim_{a \to 0}0=0$ olur.