Teğet düzlemine paralel düzlem

[cunomat]

Soru (Temel Gökçe):

$z=8-2x^2-y^2$ paraboloidinin hangi noktasındaki teğet düzlemi $z-2y=0$ düzlemine paralleldir?

A) (0,0,8)    B) (0,2,4)     C) (0,-1,7)    D) (1,1,6)     E) (1,-1,6)

[cunomat]

Düzlem $A\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ noktasında teğet olsun.

$F_{x}\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) =-4x_{0}$

$F_{y}\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) =-2y_{0}$

$F_{z}\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) =-1$

$-4x_{0}\left( x-x_{0}\right) -2y_{0}\left( y-y_{0}\right) -1\left( z-z_{0}\right) =0$

$-4x_{0}x-2y_{0}y-z+4x_{0}^{2}+2y_{0}^{2}+z_{0}=0$ düzlemi $-2y+z=0$ düzlemine paralelse düzlemlerin normalleri de paraleldir.

O halde

$\dfrac {0} {-4x_{0}}=\dfrac {-2} {-2y_{0}}=\dfrac {1} {-1}\Rightarrow x_{0}=0,y_{0}=-1,z_{0}=7$

$A(0,-1,7)$'dir.

Cevap C