İki katlı integral

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

$\int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x/2}^{\sqrt{\pi}/2} \cos(y^2)dydx$   integralinin sonucu kaçtır?


$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt2}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt\pi}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\pi}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt3}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt2}{2}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$\cos{y^2}$ fonksiyonunun $y$ değişkenine göre belirsiz integralini bulamadığımız için bu güçlüğü ortadan kaldırmak amacıyla çift katlı integralimizin sınırlarını değiştireceğiz. Üzerinde integral hesaplanacak bölge aşağıda taralı olarak belirtilmiştir.

Buna göre

$I= \int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x/2}^{\sqrt{\pi}/2} \cos(y^2)dydx = \int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}/2}\int\limits_{0}^{ 2y} \cos(y^2)dxdy $ olur. Artık $\cos{y^2}$ fonksiyonunun $x$ değişkenine belirsiz integralini alarak kolaylıkla ilerleyebiliriz.

$I= \int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}/2}\cos{y^2}(2y)dy $ olur. Hemen $y^2=t$ değişken değiştirmesi yapalım ve $2ydy=dt$ olup

$I=\int\limits_{0}^{\pi /4}\cos{t}dt = \sin{\dfrac{\pi}{ 4}} - \sin{0}= \dfrac{\sqrt 2}{2}$ elde edilir.