grup teorisi

[Lokman Gökçe]

Soru: (L. Gökçe):

$ G $ bir grup ve  $a,b,x,y \in G$  olsun.

1) $ a x = b \iff x = a^{-1}  b$
2) $ x  b = a \iff x = b^{-1} a$
3) $ a  x = b  x \iff a = b$
4) $ a  x = b  x \Longrightarrow a = b$

önermelerinden kaç tanesi doğrudur?

$
\textbf{a)}\  0
\qquad\textbf{b)}\  1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

$G$ bir grupsa işleminin birleşme,etkisiz eleman ve her elemanının tersi olması özelliği vardır. (1) önermesinde  $ax = b$ eşitliğininin her iki tarafını soldan $a^{-1}$ ile çarpabildiğimizden  $x = a^{-1}b$ elde edilir. Tersine, $x = a^{-1}b$ eşitliğini soldan $a$ ile çarparak $ax = b$ eşitliğine ulaşabiliriz.(Etkisiz eleman mevcut çünkü). O halde ilk önerme doğrudur. $xb = a$ eşitliğinden $x =b^{-1}a$ eşitliğini elde edebilmek için değişme özelliğine ihtiyacımız var; yani $G$ bir Abel grup olmalı. Fakat $G$ grubu Abelyen olmayabileceğinden bu yön doğru değil. Benzer olarak $x = b^{-1}a$ eşitliğinden $xb = a $ eşitliğini ($G$ Abelyen olmadığında) elde edemeyiz. Yani (2) önermesi yanlıştır.  $ ax = bx\iff a=b $ önermesi benzer olarak doğrudur.  $ ax=bx\Longrightarrow a=b$ önermesinin de doğru olduğu açıktır. Sonuç olarak (1), (3) ve (4) önermeleri doğrudur.