halkanın maksimal ideali

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

Aşağıdakilerden hangisi $ \left( \mathbb Z, +, \cdot \right) $ halkasının bir maksimal ideali değildir?

$
\textbf{a)}\ 2\mathbb Z
\qquad\textbf{b)}\ 3\mathbb Z
\qquad\textbf{c)}\ 5\mathbb Z
\qquad\textbf{d)}\ 6\mathbb Z
\qquad\textbf{e)}\ 7 \mathbb Z
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

Önce tanımı hatırlatalım.

Maksimal ideal: $H$ halkasının bir öz ideali $R$ olsun. Yani $R$ ile $H$ farklı olsun. Eğer $R$ yi kapsayan $H$ dan başka bir ideal yoksa $R$ ye $H$ nın bir maksimal ideali denir. Bu tanıma göre $\left( \mathbb Z, +, \cdot \right)$ halkası için $n \mathbb Z$ nin maksimal ideal olması için gerek ve yeter şart $n > 1$ tamsayısının asal olmasıdır. $n = 6$ iken $6\mathbb Z$ kümesini kapsayan $2 \mathbb Z$ ya da $3 \mathbb Z$ gibi başka idealler vardır. $6 \mathbb Z$ bir maksimal ideal değildir.

Uyarı: Bu tanıma göre bir halkanın, kendisinin bir maksimal ideali olamayacağı açıktır.