halkanın asal ideali

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

Aşağıdakilerden hangisi $ \left( \mathbb Z, +, \cdot \right) $ halkasının bir asal idealidir?

$
\textbf{a)}\ \{ 0 \}
\qquad\textbf{b)}\ \mathbb Z
\qquad\textbf{c)}\ 4\mathbb Z
\qquad\textbf{d)}\ 3\mathbb Z \cap 6\mathbb Z
\qquad\textbf{e)}\ 15\mathbb Z
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{A}$

Önce asal idealin tanımını verelim:

Asal İdeal: $H$ değişmeli halkasının bir öz ideali $R$ olsun. Yani $R$, $H$ dan farklı olsun. Eğer $x,y \in H$ ve $xy \in R$ iken daima $x \in R$ veya $y\in R$ oluyorsa $R$ ye $H$ nın bir asal ideali denir.

Bu tanıma göre $R=\{ 0 \}$ nin bir asal ideal olduğu anlaşılır. Ayrıca tanımdan ispatlanabilecek bir teorem şu şekildedir:

Teorem: $n>1$ olmak üzere  $n\mathbb Z$ idealinin $\mathbb Z$ nin asal ideali olması için $\iff$  $n$ asal olmalıdır.

Örneğin, $3\mathbb Z \cap 6\mathbb Z =6\mathbb Z$ olduğundan asal ideal değildir.