Aykırı iki doğru arasındaki uzaklık

[cunomat]

Soru (Temel Gökçe)

Uzayda  $d_{1}=\dfrac {x-2} {3}=\dfrac {y+1} {-1}=z-2$  ve  $d_{2}=\dfrac {x+1} {-1}=\dfrac {y-2} {2}=z-1$  doğruları arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {4} {5\sqrt {2}}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {6} {5\sqrt {2}}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {8} {5\sqrt {2}}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {2} {\sqrt {2}}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {12} {5\sqrt {2}}
$

[cunomat]

Yanıt: $\boxed{C}$

$d_{1}$ doğrusundan geçen ve $d_{2}$ doğrusuna paralel olan düzleme $d_{2}$ doğrusu üzerindeki bir noktanın uzaklığı aradığımız uzaklık olacaktır.

$A(2,-1,2)$ noktası $d_{1}$ doğrusu üzerindedir.

$d_{1}$ ve $d_{2}$ doğrularının doğrultu vektörleri ile $\overrightarrow {PA}=\left( x-2,y+1,z-2\right)$ vektörlerini içeren düzlemin denklemini bulmak için; bu vektörler lineer bağımlı olduklarından, determinantlarını sıfıra eşitleriz.

Buradan:

$3x+4y-5z+8=0$ denklemi çıkar.

$B(-1,2,1)$, $d_{2}$'de bir noktadır. Bu noktanın $3x+4y-5z+8=0$ düzlemine uzaklığı:

$h=\dfrac {\left| -3.1+4.2-5.1+8\right| } {\sqrt {3^{2}+4^{2}+5^{2}}}=\dfrac {8} {5\sqrt {2}}$

olur.