Standart Sapma

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

$X$ sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, sayı doğrusu üstünde alınan keyfi bir $x \in \left[ \ 1, a \right]$ noktasının orijine olan uzaklığı ile ters orantılı olarak veriliyor. Bu $X$ rassal değişkeni için standart sapma kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{4e-e^2-3}{2}}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{\dfrac{4e-e^2-2}{2}}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{\dfrac{5e-e^2-3}{2}}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{\dfrac{5e-e^2-2}{2}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[gahiax]

Yanıt: $\boxed{A}$

Çözüm(H.İ.AYANA):

$X$ sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x)=\dfrac1x  $ dir. Standart sapmayı $\sigma$ ile göstereceğiz. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımı gereğince $[1,a]$ aralığı üzerinden integralinin $1$'e eşit olması gerekir.                                                                                   

$\int\limits^a_1 {\dfrac1x} \, dx=1\to \ln a -\ln 1=1\to a=e$  bulunur. Ayrıca
$$\sigma =\sqrt{Var [ X ]}=\sqrt{E[X^2]-E[X]^2}$$
formülü geçerlidir. Şimdi  $E[X^2]$  ve  $E[X]^2$ ifadelerini hesaplayalım.
$$E[X^2]=\int\limits^e_1 {x^2\dfrac1x} \, dx=\dfrac{e^2-2}2$$
$$ E[X]^2=(\int\limits^e_1 {x\dfrac1x}\ dx)^2= (e-1)^2 $$
Bu eşitliklerden $\sigma=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{\frac{e^2-2}2-(e-1)^2 }= \sqrt{\dfrac{4e-e^2-3}{2}}$  bulunur.