Alt Vektör Uzayı

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

$\mathbb{R^3}$ de, $W= \{ (x,y,z)\in\Bbb R^3\mid 2x - 3y + 4z = 0\} $ vektör uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi $W$ uzayının bir alt vektör uzayı değildir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{2}
\qquad\textbf{b)}\ x=\dfrac{y}{2}=z
\qquad\textbf{c)}\ x=0, \ 3y=4z
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{3}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{x}{-1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{2}
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{A}$

$W$ vektör uzayının alt kümesi olan bir $H$ vektör uzayının alt vektör uzayı olması için toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre kapalı olması gerekir. $(b)$, $(c)$ ,$(d)$ ve $(e)$ seçeneklerindeki uzaylar alt küme olma ve kapalılık şartlarını sağladığından $W$ vektör uzayının alt vektör uzayı olurlar. Fakat $a$ seçeneğinde verilen doğru $W$ uzayında yatmadığından $W$ nin bir alt vektör uzayı olmaz.

[Lokman Gökçe]

$W$ uzayının oluşturduğu düzlemin normal vektörü $\overrightarrow {N}= (2, -3, 4)$ tür. $W$ nin bir boyutlu alt uzayları, $W$ nin içinde olan ve orijinden geçen doğrulardır. $W$ nin sıfır boyutlu alt uzayı da $\overrightarrow {0}= (0, 0, 0)$ sıfır vektörüdür. Aradığımız alt uzaydan (doğrulardan) birinin doğrultman vektörü $\overrightarrow {P}= (a, b, c)$ olsun. $\overrightarrow {P} \perp \overrightarrow {N}$ olmalıdır. Bu ise vektörlerin iç çarpımlarının $0$'a eşit olmasını gerektirir. Dolayısıyla $ \overrightarrow {P} \cdot \overrightarrow {N} = 2a -3b + 4c =0$ bağıntısı sağlanmalıdır.

$(a)$ seçeneğinde $\overrightarrow {P}= (2, -1, 2)$ olup $ \overrightarrow {P} \cdot \overrightarrow {N} = 4  + 3 + 8 \neq 0$ dır.

[cunomat]

Alper Hocam'ın açıklamasına benzer olarak ; şıklarda verilen doğruların, W uzayının alt vektör uzayı olabilmesi için W uzayının oluşturduğu düzlemi germesi gerekir.Yani doğrular düzlemin içerisinde olmalıdır. Her şıkkı bir k sabitine eşitleyip düzlemde yerine yazarsak, denklemi sadece A şıkkının sağlamadığını görürüz.