2. mertebeden diferansiyel denklem

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

İki özel çözümü $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$ olan 2. mertebeden diferansiyel denklem aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ y'' + 4y' + 4y = 0
\qquad\textbf{b)}\ y'' - 4y' + 4y = 0
\qquad\textbf{c)}\ y'' + xy'= 0
\qquad\textbf{d)}\ y'' + 4y = 0
\qquad\textbf{e)}\ y'' - 2y'  = 0
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Çözüm 1: Sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemler teorisinin iyi bilinen bir teoremini kullanacağız

Teorem: $a \neq 0$, $b$, $c$ gerçel sabitler olmak üzere $ay''+by'+cy=0$ diferansiyel denklemi verilsin. $ar^2+br+c=0$ karakteristik denklemini göz önüne alalım. Bu denklemin kökleri $r_1$ ve $r_2$ olsun.

1) $r_1 \neq r_2$ ise diferansiyel denklemin genel çözümü $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ dir.

2) $r_1 = r_2$ ise diferansiyel denklemin genel çözümü $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_2x}$ dir.

Bu teoreme göre, verilen lineer bağımsız çözümler $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$ olduğundan $r_1=r_2=2$ dir. Dolayısıyla karakteristik denklem $(r-2)^2=r^2-4r+4=0$ olup diferansiyel denklem $y'' -4y' +4y=0$ bulunur.

Çözüm 2: Seçenekler denenirse $y=xe^{2x}$ için $y'=e^{2x} + 2xe^{2x}$, $y''=4e^{2x} +4xe^{2x} $ olup bu ifadelerin $y'' -4y' +4y=0$ denklemini sağladığı görülebilir.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 3: $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$, $x$ değişkenine göre lineer bağımsız fonksiyonlar olduğundan genel çözümü $y=C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$ olan diferansiyel denklemi kurmalıyız. Birinci ve ikinci türevleri hesaplarsak

$y'=2C_1e^{2x} + C_2e^{2x} + 2C_2xe^{2x} = (2C_1 + C_2)e^{2x} + 2C_2xe^{2x} $,

$y''= 2(2C_1 + C_2)e^{2x} + 2C_2e^{2x} + 4C_2xe^{2x} = 4(C_1 + C_2)e^{2x} + 4C_2xe^{2x}$

bulunur. Bu eşitliklerden $C_1$ ve $C_2$ yok edilirse $y'' -4y' + 4y = 0$ diferansiyel denklemine ulaşırız.