Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1981 Soru 1

[geo]

$ABC$ üçgeninin içerisinde hareketli bir $P$ noktası alınıyor. $P$ den $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ olmak üzere; $$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$$ yi en küçük yapan tüm $P$ noktalarını bulunuz.

[geo]

$BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $PD=x$, $PE=y$, $PF=z$ olsun. Cauchy'den $$\left ( \dfrac ax + \dfrac by + \dfrac cz \right) \cdot \left ( ax + by + cz \right) \geq \left ( \sqrt {\dfrac ax} \cdot \sqrt{ax} + \sqrt {\dfrac by} \cdot \sqrt{by} + \sqrt {\dfrac cz} \cdot \sqrt{cz}\right ) ^2  = (a+b+c)^2$$
$ax+by+cz = 2\cdot [ABC]$ olduğu için $$ \dfrac ax + \dfrac by + \dfrac cz \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2\cdot [ABC]} = \text{Sabit}$$ olacaktır. Eşitlik hali $$\dfrac{\sqrt{\frac ax}}{\sqrt {ax}} = \dfrac{\sqrt{\frac by}}{\sqrt {by}} = \dfrac{\sqrt{\frac cz}}{\sqrt {cz}} \Rightarrow x = y = z$$ iken sağlanır. O halde, $P$ noktası iç merkez olduğunda, $\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$ ifadesi en küçük değerini alır.