İlk önce $\ge$ $0$ gösterelim. Varsayalım $x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olsun. O zaman $\text{Aritmetik Harmonik Orta}$ dan $\dfrac{x+y+z}{3}$ $\ge$ $\dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}$ dir. Paydaları eşitlersek $xy+yz+zx$ $\ge$ $9xyz$ elde edilir. O halde $xy+yz+zx$ $-$ $2xyz$ $\ge$ $7xyz$ $>$ $0$ olur. Sağlar. Eğer en az biri $0$ a eşitse $xy+yz+zx$ $\ge$ $2xyz$ $=$ $0$ olur ki sağlar. İlk şıkkı ispatladık.
Şimdi ikinci kısma bakalım. Schur'un gelişmiş versiyonundan $x,y,z \ge 0$ için $(x+y-z)(y+z-x)(x+z-y) \le xyz$ dir. Burada $x+y+z=1$ yerine koyarsak $xyz \ge (1-2x)(1-2y)(1-2z)=1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz$ yani $9xyz \ge 4(xy+yz+zx)-1$ olur. $2xyz \ge \dfrac{8}{9}.(xy+yz+zx)-\dfrac{2}{9}$ olur. Eğer $\dfrac{8}{9}.(xy+yz+zx)-\dfrac{2}{9} +\dfrac{7}{27}\ge yz + zx +xy$ gösterirsek ispat biter. Bunun için $ \dfrac{1}{3} \ge xy+yz+zx$ göstermemiz yeterlidir. Bu da $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ olduğundan doğrudur.
