Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$S$, üç boyutlu uzayda sonlu sayıda noktadan oluşan bir küme olsun. $S_x$, $S_y$ ve $S_z$ ile $S$ deki noktaların sırasıyla $yz$ düzlemi, $zx$  düzlemi ve $xy$ düzlemi üstüne dik izdüşümlerinden oluşan kümeleri gösterelim. Bu durumda $$|S|^2\leq |S_x|\cdot |S_y| \cdot |S_z|$$ olduğunu kanıtlayınız. Burada $|A|$ ile sonlu bir $A$ kümesindeki eleman sayısı gösterilmektedir.
(Not: Bir noktanın bir düzlem üstüne dik izdüşümü, o noktadan düzleme çizilen dikmenin ayağıdır.)