17. ulusal matematik olimpiyatı soruları {Çözüldü}

[FEYZULLAH UÇAR]

bir tuz daha...

[FEYZULLAH UÇAR]

son soruda 11²+12²+132²   ifadesinin tam kare olduğunu anlayabiliriz

11²+12²+132² =(12-11)²+2.12.11+132²
=1+2.132+132²=(1+132)²=133²  olur

[proble_m]

Çözüm 26

[senior]

Çözüm 32:
İlk başta 1234 diye sembolik bir kümemiz olsun. n kümeden seçilen herhangi iki kümenin farklı elemanlarından 4 elemanlı bir küme oluşuyorsa, bu iki kümenin iki elemanı ortaktır. 1234 kümesinden 12,13,... diye C(4,2) = 6 tane ikili çıkarabiliriz. Bu ikilileri uygun şekilde kümeye tamamlarsak n en fazla 7 olur.
Örnek dağılım: 1234 12ab 13ac 14bc 23bc 24ac 34ab

[Lokman Gökçe]

grafik için senior'a teşekkürler

çözüm 31:

[Lokman Gökçe]

36. ve 24. soruların ne istediğini anlayamadım. özellikle 36. sorudan bişey anlamadım acaba ingilizceden türkçeye tercüme edilirken çevirilerde bir sıkıntı mı olmuş diye aklıma geldi. soruların ne demek istediğini çözen biri varsa yamacıma gelsin. bu iki soru için yardımlarınızı bekliyorum. iyi çalışmalar

[Lokman Gökçe]

Ev arkadaşım ve bir araştırma görevlisi olan Nihat Yağmur hocamla kafa kafaya verip çözdüğümüz ilk sorulardan biriydi  çözümü izah etmek biraz güç oldu benim için ama anlaşılır olmuştur inş..

[Lokman Gökçe]

mathlinks'de yapılan bir çözümü gönderiyorum:

çözüm 16:

[Lokman Gökçe]

matematikolimpiyati.org da verilen çözümü aynen yolluyorum:

çözüm 24:

[Lokman Gökçe]

böylece 36. soru hariç tüm sorulara cvp verilmiştir.

çözüm 34:

[geo]

36. sorudan benim anladığım şu:

başkentten başlayıp başkente dönmeyin mümkün kılan yollar var. sefer sayısı A - B , B-A , A-B ... seklinde sonsuz uzatılabilir. Bunu engellemek için soruyu hazırlayan sefer sayısı en az olanın ifadesini kullanmış.

yine anladığım kadarıyla soruyu hazırlayan A dan başlayıp her yeri gezip A ya dönmeyi mümkün kılan sefer dizilerinden en çok elemanlı olanı istiyor; ama yukarıda anlattığım gibi gereksiz yolların bu en çok ifadesine katılmasını istemiyor. öteki türlü cevap sonsuz olurdu.

[Lokman Gökçe]

ben yine de sorudan bişey anlamadım  şehirleri 1, 2 , 3, ... ,100 diye numaralarsak 1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 4 , ... , 99 -> 100, 100 -> 1 şeklinde sefer listesi yaptım ki burada en az 100 sefer olmaktadır. her şehre en az bir defa uğranacağından dolayı daha da az olmaz. en az 100 sefer vardır.

bu en az seferin en çoğu nasıl oluyor onu anlamadım. sabittir ve 100 dür dedim

[geo]

ülkede şu yolların olduğunu varsayalım.
1->2 , 2->3, .... 99->100 .
100->1 yolu da olursa. 1'den başlayıp 1'e 100 seferde dönülüyor.

1->2 , 2->3, .... 99->100, 100->1, 3->2
bu şekilde yolların olduğunu varsayalım. burada yol tekrarı var. soruya göre toplam 101 sefer mi oluyor, yoksa adam 2->3 , 3->2 yaparak sonsuz sefere mi cikartmis oluyor onu anlayamadım.

ama
1->2, 2->3, ....99->100, 100->99, 99->98, ... 2->1 şeklinde yolların olduğu bir ülkede
1'den 1'e en az 198 seferde gidilir.

galiba bizden istenen bu en az 100, en az 198 dediğimiz sefer sayıları en çok kaç olabilir?

[Lokman Gökçe]

Geçen yılın (2009'un) 36. sorusu çözümsüz kalmıştı. Mustafa Töngemen hocamdan geçenlerde rica etmiştim, sağolsun çözümü maille yollamış. çözüm 36:


100 kentten, herhangi ikisi arasındaki sefer sayısı; her kentten en az bir kez geçmek koşuluyla en çok x olsun.Bu durumda x tane kent arasındaki ulaşım sağlanmış olur.Geriye 100-x kent kalır.100-x tane kent arasındaki sefer  sayısı en çok (100-x).x sayıdadır.
  Bu durumda sefer sayısı en çok T=x+(100-x).x ten T=x.(101-x) olur. x ile (101-x) sayılarının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması  G ise A büyük veya = G den
x+(101-x)/2 büyük=karekök içinde x.(101-x) ten 2550,25 büyük=x.(101-x) olur.Kent syısı bir tam sayı olacağından x=50 iken sefer sayısı 50.(101-50)=2550 dir.


Selamlar.(Mustafa Tönmegen)

[Lokman Gökçe]

... 17. ulusal matematik olimpiyatı (2009) sorularının tamamı çözülmüştür ...