Üçgende açı eşitliği

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ dar açılı üçgeninde $|BC|>|CA|$ dır. $O, H$ ve $F$ noktaları sırasıyla $ABC$ nin çevrel çemberinin merkezi, $ABC$ nin diklik merkezi ve $C$ den $AB$ üzerine inen dikmenin ayağıdır. $AC$ üzerinde $\angle{OFP}=90^\circ$ olan nokta $P$ olmak üzere, $\angle{FHP}=\angle{BAC}$ olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Lemma: Bir $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi olmak üzere $H$ nin kenarlara göre simetrikleri $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerindedir.  İspatı açılardan kolayca yapılabilir.

Şimdi $CH$  yi uzatalım  ve  $ABC$  üçgeninin çevrel çemberiyle kesiştiği noktaya  $K$ diyelim. Lemmadan dolayı  $HF=FK$  dır. $\angle BAC=\alpha$  olsun.  $\angle CKB=\angle KHB=\alpha$ olur. $\angle FHP=\angle BAC=\alpha$  olması demek

$HP \parallel BK$  olması demektir. $PF$  yi  uzatalım  ve  $BK$  ile kesiştiği noktaya  $L$  diyelim. Eğer  $BK \parallel HP$  ise  $HF=FK$  olduğu için $PF=FL$  dir.  Yani  $PF=FL$  olduğunu ispatlarsak soru biter. $O \ , \ PL$  ye dikmiş. 

O zaman $\angle POF=\angle FOL$  olduğunu ispatlarsak soru biter. Şimdi $O$  dan  $AC$  ve  $BK$  ye dik indirelim. Bu dikmelerin ayakları sırasıyla $D$  ve  $E$  olsun.  O zaman $OFPD$  ve  $OFLE$  kirişler dörtgenidir.

Yani  $\angle POF=\angle PDF$  ve  $\angle FOL=\angle FEL$  olur. Yani $\angle PDF=\angle FEL$  olduğunu gösterirsek ispat biter. $AFC$  dik üçgen olduğu için muhteşem üçlüden  $\angle ADF=180-2\alpha$  dır.  O zaman  $\angle FEL=180-2\alpha$  olduğunu

göstermeliyiz.  $HF=FK$  ve  $BE=EK$  olduğu için  $FE \parallel BH$  olur. Yani $\angle HBK=180-2\alpha$  olduğunu göstermeliyiz. $AKBC$  kirişler dörtgeni olduğu için $\angle BAC=\angle CKB=\alpha$  olur. $BH=BK$  olduğu için

$\angle HBK=180-2\alpha$  dır. İspat biter.

[Can Muharrem ÖZKAN]

Aşağıdaki çizime göre $m(\widehat{BHD})=m(\widehat{FHD})$ olduğunu ispatlamamız istenmektedir.

Çözüm: Herhangi bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasının kenarlara göre simetrileri çevrel çember üzerindedir. Bu sebeple $|HD|=|DK|$ olur. $OD \perp DF$ olduğunu biliyoruz. $DF$ doğrusu; $BK$'yı $L$'de ve çemberi $P,Q$ noktalarında kessin. $[PQ]$ nun orta noktasının $D$ olacağı aşikardır. Öyleyse Butterfly teoremi gereği $|DL|=|LF|$ dir. O halde Thales teoreminin tersi gereği $HF \parallel BK$ olur. $m(\widehat{EBK})=m(\widehat{EHF})=2\alpha $ dır. $BHD$ dik üçgeninden $m(\widehat{BHD})=90^\circ - \alpha=m(\widehat{FHD})$ elde edilir.