2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 12

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ tam sayıları $49 \leq a+b \leq 51$ ve $0,71 < \dfrac{b}{a} < 0,73$ eşitsizliklerini sağladığına göre, $a^2-b^2$ değerinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Oranları ve toplamlarının pozitif olmasından dolayı $a$ ve $b$ pozitif tamsayılardır. İkinci eşitsizliği düzenlersek, $$0.71<\frac{b}{a}<0.73\implies 1.71a<a+b<1.73a$$ olacaktır. $a+b$ için elde elimizde olan iki eşitsizliğin kesişimi olmalıdır çünkü $a+b$ içindedir. Buradan $1.73a>49$ ve $1.71a<51$ olması gerektiği sonucuna varırız. Dolayısıyla $$\frac{49}{1.73}\approx 28.32<a<\frac{51}{1.71}\approx 29.82\implies a=29$$ bulunur. Yerine yazarsak, $$0.71<\frac{b}{29}<0.73\implies 20.59<b<21.17\implies b=21$$ olacaktır. Dolayısıyla $a^2-b^2=29^2-21^2=400$'dür ve rakamları toplamı $4$'dür.