2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 09

[matematikolimpiyati]

$a,b,c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,
$$3a^2b^2c^2=10(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
eşitliği sağlanıyorsa $(a+b+c)$ toplamı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

ifade $a^2b^2(c^2-10)+a^2c^2(b^2-10)+b^2c^2(a^2-10) = 0$ olarak düzenlenebilir. İfadelerden en az birinin $<0$ olması gerekliliği açıktır. Bu yüzden sayılardan en az biri $\{1,2,3\}$ kümesinden olmalı. $a$'ya bu değerleri verip deneme yapalım. $a=1$ olsun. $7b^2c^2+10b^2+10c^2 = 0$ denkleminin pozitif tamsayılarda çözümü olmadığı açıktır. $a=2$ olsun. $b^2c^2 = 20(b^2+c^2)$ elde edilir. $(b^2-20)(c^2-20) = 400$ olur. Denenirse $(5,10)$ sağlar. $a+b+c = 17$. $a=3$ olsun. $17b^2c^2 = 90(b^2+c^2)$ elde edilir. Düzenlersek $b^2(17c^2-90) = 90c^2$ elde edilir. Buradan anlaşılır ki $17c^2-90 | 90c^2$. Buradan $17c^2-90 | 5c^2+450$ elde edilir. Bunun saglanması için $17c^2-90\leq5c^2+450$ olmalıdır. Buradan $c^2\leq45$ gelir. Bunu sağlayan c degerleri $(1,2,3,4,5,6)$ denendiğinde uygun $b$ değeri bulunamaz. $a+b+c$ nin alabileceği tek değer $17$dir.