Gönderen Konu: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 04  (Okunma sayısı 65 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.522
  • Karma: +4/-0
2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 04
« : Mayıs 14, 2024, 09:56:50 ös »
$a_k=\dfrac{k}{81}$ olmak üzere,
$$S=\dfrac{a_1^2}{1+2a_1(a_1-1)} + \dfrac{a_2^2}{1+2a_2(a_2-1)} + \cdots + \dfrac{a_{80}^2}{1+2a_{80}(a_{80}-1)}$$
toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 40  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 60  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 80$

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 619
  • Karma: +2/-0
Ynt: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 04
« Yanıtla #1 : Mayıs 15, 2024, 12:21:38 öö »
Cevap: $\boxed{A}$

$a_k=\dfrac{k}{2p+1}$ olmak üzere
$$S=\sum_{i=1}^{2p}{\dfrac{a_i^2}{1+2a_i\left(a_i-1\right)}}=p$$
olduğunu gösterelim. Öncelikle paydadaki $a_i\left(a_i-1\right)$ kısmında $1\leq t\leq 2p$ için $a_t$ ve $a_{2p+1-t}$ verildiğinde aynı ifade elde edildiğine dikkat edelim. Bu aslında ifadeyi bize ikili gruplara ayırabileceğimizi gösteriyor. Nitekim bu tür sorularda genellikle ya teleskobik toplam, ikili gruplama veya cebirsel manipülasyonlar bulunur. İfadeyi ikili grupladığımızda ve $a_i=1-a_{2p+1-j}$ olduğunu göz önünde bulundurduğumuzda
$$S=\sum_{j=1}^{p}{\left(\dfrac{a_j^2}{1+2a_j\left(a_j-1\right)}+\dfrac{a_{2p+1-j}^2}{1+2a_{2p+1-j}\left(a_{2p+1-j}-1\right)}\right)}=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{a_j^2+a_{2p+1-j}^2}{1-2a_ja_{2p+1-j}}}$$
$$=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{\left(a_j+a_{2p+1-j}\right)^2-2a_ja_{2p+j-1}}{1-2a_ja_{2p+1-j}}}=\sum_{j=1}^{p}{1}=p$$
olarak elde edilir. Son bölümde $a_i+a_{2p+1-i}=1$ olduğunu kullandık. Probleme özel olarak
$$p=40$$
alındığında ifadenin değeri $\boxed{40}$ olarak elde edilir
« Son Düzenleme: Mayıs 15, 2024, 12:23:52 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal