2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 04

[matematikolimpiyati]

$a_k=\dfrac{k}{81}$ olmak üzere,
$$S=\dfrac{a_1^2}{1+2a_1(a_1-1)} + \dfrac{a_2^2}{1+2a_2(a_2-1)} + \cdots + \dfrac{a_{80}^2}{1+2a_{80}(a_{80}-1)}$$
toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 40  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 60  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 80$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap: $\boxed{A}$

$a_k=\dfrac{k}{2p+1}$ olmak üzere
$$S=\sum_{i=1}^{2p}{\dfrac{a_i^2}{1+2a_i\left(a_i-1\right)}}=p$$
olduğunu gösterelim. Öncelikle paydadaki $a_i\left(a_i-1\right)$ kısmında $1\leq t\leq 2p$ için $a_t$ ve $a_{2p+1-t}$ verildiğinde aynı ifade elde edildiğine dikkat edelim. Bu aslında ifadeyi bize ikili gruplara ayırabileceğimizi gösteriyor. Nitekim bu tür sorularda genellikle ya teleskobik toplam, ikili gruplama veya cebirsel manipülasyonlar bulunur. İfadeyi ikili grupladığımızda ve $a_i=1-a_{2p+1-j}$ olduğunu göz önünde bulundurduğumuzda
$$S=\sum_{j=1}^{p}{\left(\dfrac{a_j^2}{1+2a_j\left(a_j-1\right)}+\dfrac{a_{2p+1-j}^2}{1+2a_{2p+1-j}\left(a_{2p+1-j}-1\right)}\right)}=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{a_j^2+a_{2p+1-j}^2}{1-2a_ja_{2p+1-j}}}$$
$$=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{\left(a_j+a_{2p+1-j}\right)^2-2a_ja_{2p+j-1}}{1-2a_ja_{2p+1-j}}}=\sum_{j=1}^{p}{1}=p$$
olarak elde edilir. Son bölümde $a_i+a_{2p+1-i}=1$ olduğunu kullandık. Probleme özel olarak
$$p=40$$
alındığında ifadenin değeri $\boxed{40}$ olarak elde edilir