2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 03

[matematikolimpiyati]

$K=1^n+2^n+3^n+4^n$ toplamının $10$ ile tam bölünmesini sağlayan, $2023$'ten küçük $n$ pozitif tam sayılarının sayısı $M$ ise $M$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Her $n$ pozitif tamsayısı için $K$ çift sayıdır. Dolayısıyla $K$'nın $5$'e bölünmesini incelemek yeterlidir. $n$ için $5\mid K$ ise $n+4$ için de bölündüğü Fermat teoreminden görülebilir. Dolayısıyla $n=1,2,3,4$ için incelemek yeterlidir. Sadece $n=4$ için $K$ sayısı $5$'e bölünmez. Dolayısıyla $2023$'ten küçük, $4$'ün katı $m$ sayı varsa, $M=2022-m$ olacaktır. $2023$'ten küçük, $4$'ün katı sayılar $$4,8,12,\dots,2020$$ olduğundan $\frac{2020}{4}=505$ tane $4$'ün katı sayı bulunur. Dolayısıyla $M=2022-505=1517$'dir. Rakamları toplamı ise $1+5+1+7=14$'dür.