Gönderen Konu: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 03  (Okunma sayısı 80 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.522
  • Karma: +4/-0
2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 03
« : Mayıs 14, 2024, 09:52:42 ös »
$K=1^n+2^n+3^n+4^n$ toplamının $10$ ile tam bölünmesini sağlayan, $2023$'ten küçük $n$ pozitif tam sayılarının sayısı $M$ ise $M$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 10$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.160
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 03
« Yanıtla #1 : Mayıs 15, 2024, 01:30:29 öö »
Cevap: $\boxed{D}$

Her $n$ pozitif tamsayısı için $K$ çift sayıdır. Dolayısıyla $K$'nın $5$'e bölünmesini incelemek yeterlidir. $n$ için $5\mid K$ ise $n+4$ için de bölündüğü Fermat teoreminden görülebilir. Dolayısıyla $n=1,2,3,4$ için incelemek yeterlidir. Sadece $n=4$ için $K$ sayısı $5$'e bölünmez. Dolayısıyla $2023$'ten küçük, $4$'ün katı $m$ sayı varsa, $M=2022-m$ olacaktır. $2023$'ten küçük, $4$'ün katı sayılar $$4,8,12,\dots,2020$$ olduğundan $\frac{2020}{4}=505$ tane $4$'ün katı sayı bulunur. Dolayısıyla $M=2022-505=1517$'dir. Rakamları toplamı ise $1+5+1+7=14$'dür.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal