Gönderen Konu: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 01  (Okunma sayısı 75 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.522
  • Karma: +4/-0
2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 01
« : Mayıs 14, 2024, 09:50:07 ös »
$5^{4 \cdot 19} + 5^{3 \cdot 19} + 5^{2 \cdot 19} + 5^{19}$ sayısının $5^{20}+1$ sayısına bölümünden kalan $m \cdot 5^{n}$ biçimindeyse $m+n$ en az kaçtır? (Burada, $m$ ve $n$ pozitif tam sayılardır.)

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 120  \qquad\textbf{c)}\ 119  \qquad\textbf{d)}\ 129  \qquad\textbf{e)}\ 191$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.160
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 01
« Yanıtla #1 : Mayıs 15, 2024, 01:07:08 öö »
Cevap: $\boxed{B}$

$5^{19}=K$ diyelim. Bölünen sayı $K^4+K^3+K^2+K$, bölen ise $5K+1$ olacaktır. Polinom bölmesi yaparsak, $$\frac{K^4+K^3+K^2+K}{5K+1}=\frac{K^3}{5}+\frac{4K^2}{25}+\frac{21K}{125}+\frac{104K}{125(5K+1)}$$ olacaktır. $\frac{K^3}{5}+\frac{4K^2}{25}+\frac{21K}{125}$ tamsayıdır ve $104K<125(5K+1)$'dir. Yani kalan $\frac{104K}{125}=104\cdot 5^{16}$ olacaktır. Dolayısıyla $m+n$ en az $104+16=120$'dir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal