Gönderen Konu: 2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 15  (Okunma sayısı 82 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.522
  • Karma: +4/-0
2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 15
« : Mayıs 14, 2024, 12:36:04 öö »
$f : \mathbb Z^+ \to \mathbb R^+$ fonksiyonu, her $x,y \in \mathbb Z^+$ için,
$$3f(x+y)[f(x)+f(y)+2xy \cdot f(xy)]=2f(xy)$$
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, $(m,n)=1$ olmak üzere, $f(1)=\dfrac{m}{n}$ ise $m^2+n^2$ kaçtır?

(Not : Burada, $\mathbb Z^+$ ve $\mathbb R^+$ pozitif tam sayılar ve pozitif reel sayılar kümelerini göstermektedir.)

Çevrimdışı Kaanksc

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 39
  • Karma: +0/-0
Ynt: 2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 15
« Yanıtla #1 : Mayıs 14, 2024, 02:20:10 öö »
 Verilen ifadede yazılacak $(x,y)$ ikililerini $P(x,y)$ olarak gösterelim.
$P(1,1)$ $:$ $3f(2)\cdot{4f(1)} = 2f(1)$ $\Rightarrow$ $f(2) = \frac{1}{6}$
$P(2,2) : 3f(4)\cdot(2f(2)+8f(4)) = 2f(4) \Rightarrow f(4) = \frac{1}{24}$
$P(1,3) : 3f(4)\cdot(f(1)+7f(3)) = 2f(3) \Rightarrow 9f(3)=f(1)$
$P(1,2) : 3f(3)\cdot(f(1)+5f(2)) = 2f(2) \Rightarrow 9f(3)\cdot(6f(1)+5)=6 \Rightarrow 6f(1)^2+5f(1)-6=0$
$f(1) = \frac{-5+\sqrt{25+4\cdot6\cdot6}}{12} = \frac{2}{3} (f(1)\in\mathbb R^+ olduğundan)$
$m^2+n^2 = 2^2+3^2 = 13$
« Son Düzenleme: Mayıs 14, 2024, 09:08:14 ös Gönderen: Kaanksc »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal