Öncelikle sabit polinomları deneyelim. $P$'yi sabit düşünürsek, $Q$, $15$. dereceden olur ama başkatsayısı negatif olur. Dolayısıyla $P$ sabit değildir. $\text{deg} P=n\geq 1$ ve $\text{deg} Q=m$ olsun. Bu durumda $\text{deg}P(P(x))=n^2$ ve $\text{deg}(P(x))^5=5n$ olacaktır. $(P(x))^5$'in başkatsayısı da pozitif olduğundan $\text{deg}((P(x))^5+x^{15}+Q(x))=\text{max}\{5n,15,m\}$ olacaktır. Buradan $$n^2=\text{max}\{5n,15,m\}$$ sonucu elde edilir.
Yani $n^2=5n$, $n^2=15$ veya $n^2=m$ olabilir. İkinci ihtimalden sonuç gelmediğinden $n=5$ veya $n^2=m$ olabilir. İkinci durumda $n^2=m\geq 5n$ olduğundan $m\geq 25$ bulunur. Ancak ilk durumu incelediğimizde göreceğiz ki $m\leq 25$ için de örnek durum vardır (Örneğin $P(x)=x^5+x^4$ ve $Q(x)=(x^5+x^4)^4-x^{15}$). Bu yüzden sadece $n=5$ durumunu inceleyeceğiz.
$n=5$ ise $P(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ diyelim. $P(P(x))-P(x)^5$'e bakalım, $$(a-1)P(x)^5+bP(x)^4+cP(x)^3+dP(x)^2+eP(x)+f=x^{15}+Q(x).$$ $Q$'nun derecesini azaltmak için $a=1$ seçebiliriz. Aksi takdirde $m=25$ olmalıdır.
Eğer $b\neq 0$ ise, sol taraftaki en büyük derece olan $20$'nin katsayısı $a^4b$ olacaktır. Bu durumda $b>0$ ve $Q$'nin derecesi $20$ olmalıdır. Önemli olan başkatsayının pozitif olması olduğundan $b>0$ olan her $P$ polinomu bir örnek çıkartır.
$b=0$ ise $c>0$ olmalıdır çünkü sol tarafın en büyük derecesi $15$ olacaktır ve başkatsayısı $a^3c$'dir. Bu durumdan $m=15$ için örnek durum bulabiliriz, örneğin $a=1$, $c=2$ ve diğer katsayıları $0$ alırsak, $P(x)=x^5+2x^3$ ve $Q(x)=2(x^5+2x^3)^3-x^{15}$ olur. Şimdi ise $m<15$ olabilir mi diye bakalım.
$m<15$ ise $b=0$'dır ve sağ tarafın derecesi $15$'dir, başkatsayısı ise $1$'dir. Buradan $a=c=1$ çıkar çünkü sol tarafın başkatsayısı da $a^3c$'dir. $eP(x)$ ve $f$ katsayıları dereceyi ve başkaysayıyı etkilemediğinden $0$ olarak alınabilir. Bu durumda $$P(x)^3+dP(x)^2-x^{15}=(x^5+x^3+dx^2)^3+d(x^5+x^3+dx^2)^2-x^{15}=Q(x)$$ bulunur. Sol tarafın derecesi $(x^5)^2\cdot (x^3)^1$ teriminden dolayı $13$'dür. Yani $Q$'nun derecesi en az $\boxed{13}$'dür. Örnek durum ise $P(x)=x^5+x^3$ için $Q(x)=3x^{13}+3x^{11}+x^9$'dir.
