Tübitak Lise 2. Aşama 2023 Soru 4

[geo]

Başlangıçta tahta üzerinde her birinin $31$ koordinatı olan $31$ adet $$(1,0, 0, \dots, 0), \ (0,1,0, \dots, 0), \ \dots , \ (0,0,0, \dots, 1)$$ $31$-lileri yazılmıştır. Her işlemde, tahtada bulunan $(a_1, a_2, \dots, a_{31})$ ve $(b_1, b_2, \dots, b_{31})$ $31$-lileri seçiliyor ve $(a_1 + b_1, a_2 + b_2 ,\dots, a_{31} + b_{31} )$ $31$-lisi de tahtaya yazılıyor. En az kaç işlem sonucunda tahtada $$(0,1, 1, \dots, 1), (1,0,1, \dots, 1), \dots , (1,1,1, \dots, 0)$$ $31$-lilerinin tümü yer alabilir?