Tübitak Lise 2. Aşama 2023 Soru 2

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $BPC$ üçgeninin çevrel çemberine $P$ noktasında içten teğet olan $\omega_A$ ve dıştan teğet olan $\Gamma_A$ çemberleri, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de sırasıyla $A_1$ ve $A_2$ noktalarında içten teğettir. $B_1$, $B_2$ ve $C_1$, $C_2$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çember merkezi olmak üzere, $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ ve $OP$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\Pi = (ABC)$, $\Pi_A = (BPC)$ ve $\Pi$ nin yarıçapı $R$ olsun.

Üç çemberin ikişerli ikişerli kuvvet eksenleri tek bir noktada kesişir.
Yani $\omega_A$ ile $\Gamma_A$ kuvvet ekseni, $\omega_A$ ile $\Pi$ nin kuvvet ekseni, $\Gamma_A$ ile $\Pi$ nin kuvvet ekseni tek bir noktada kesişir. Bu nokta $O_A$ olsun.
$O_AP = O_AA_1 = O_AA_2$. $(O_A, |O_AP|) = \pi_A$ olsun.

$\Pi_A$ nın $O_AP$ teğeti ile $\Pi$ nin $O_AA_2$ teğeti eşit olduğu için $O_A$ bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir (Yani $O_A \in BC$).
Bu durumda $$OO_A^2 - R^2 = O_AP^2 \tag{1}$$ olur.

Şimdi de $\Pi_B = (APC)$ için benzer işlemleri yapıp $O_B$ yi ve $\pi_B$ yi tanımlayalım. $$OO_B^2 - R^2 = O_BP^2 \tag {2}$$
$\pi_A$ ile $\pi_B$ nin kuvvet ekseni $P$ den geçen ve $O_AO_B$ ye dik doğrudur. $(1)-(2)$ den $$OO_A^2 - OO_B^2 = O_AP^2 - O_BP^2 \tag {3}$$ olduğu için $OP \perp O_AO_B$ dir. Bu durumda $\pi_A$ ile $\pi_B$ nin kuvvet ekseni $OP$ dir.

$OP$ ile $A_1A_2$ nin kesişimi $K$ olsun.
$K$ noktası hem $\Pi$ ile $\pi_A$ nın kuvvet ekseni üzerinde, hem de $\pi_A$ ile $\pi_B$ nin kuvvet ekseni üzerinde olduğu için $\Pi$ ile $\pi_B$ nin kuvvet ekseni üzerinde olacaktır. Bu durumda $K \in B_1B_2$ olacaktır.
Benzer şekilde $C_1C_2$ de bu $K$ noktasından geçecektir.