Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 17

[matematikolimpiyati]

$|AB|=6$, $|AC|=8$, $|BC|=10$ olan bir $ABC$ üçgeni veriliyor. Bu üçgenin çevrel çemberinde $A$ noktasını içermeyen $BC$ yayının orta noktası $D$ olsun. Çevrel çembere $D$ noktasında teğet olan doğrunun $AB$ doğrusuyla kesiştiği nokta $E$ ise $|ED|$ uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{36}{5}  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{28}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{35}{4}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$6,8,10$ üçgeninden dolayı $m(\widehat{BAC})=90^\circ$ dir. $D$ noktası $BC$ yayının orta noktası olduğundan $[AD$, $\widehat{BAC}$ nin açıortayıdır. Dolayısıyla $DO\perp BC$ ve $|OB|=|OC|=|OD|=5$ tir. Yarıçapın teğete dik oluşundan, $OD \perp ED$ dir. Böylece, aslında iyi bilinen bir özellik olarak $BC \parallel ED$ bulunur. $AD$ ile $BC$ nin kesişimi $N$ olsun. Bu paralellikten dolayı $ABN \sim AED$ dir. $A$ dan $BC$ ve $ED$ ye inilen yükseklik ayakları sırasıyla $H$ ve $L$ ise, yükseklikler oranını benzerlik oranına eşitlersek

$$ \dfrac{|ED|}{|BN|} = \dfrac{|AL|}{|AH|} $$

olur. $6,8,10$ dik üçgeninde $|AH| = \dfrac{6\cdot 8}{10} = \dfrac{24}{5}$ tir. İç açıortay teoreminden $\dfrac{|BN|}{6}=\dfrac{|CN|}{8} = \dfrac{10}{6+8}$ olup $|BN|=\dfrac{30}{7}$ dir. Ayrıca $|HL|=|OD|=5$ olduğundan $|AL|=\dfrac{24}{5} + 5 = \dfrac{49}{5}$ tir. Bu değerleri benzerlik oranı eşitliğinde kullanırsak,

$$ \dfrac{|ED|}{30/7} = \dfrac{49/5}{24/5}  $$

olup $|ED| = \dfrac{35}{4}$ bulunur.