Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 12

[matematikolimpiyati]

Bir sıraya dizilmiş $7$ topun her biri kırmızı, mavi ve siyah renklerden birine, yan yana iki siyah top olmayacak şekilde kaç farklı biçimde boyanabilir?

$\textbf{a)}\ 1128  \qquad\textbf{b)}\ 1158  \qquad\textbf{c)}\ 1186  \qquad\textbf{d)}\ 1224  \qquad\textbf{e)}\ 1296$

[vedatde]

Dizilişlerde 4 siyah top ve 3 tanede siyah olmayan top olduğu durumda;
Siyah topların üç tane araları var ve bu aralarda diğer siyah olmayan renklerden 1'  er tane olmak zorundadır.
Bu durumda diğer siyah olmayan üç top  $2^3=8$ değişik şekilde boyanabilir.
 
Dizilişlerde 3 siyah top ve 4 tanede siyah olmayan top olduğu durumda;
$-S-S-S-$ şeklinde dizilirler. 
Soldan başlamak üzere aralıklardaki top sayıları $x_1  ,x_2  ,x_3  ,x_4 $ olsun.
$ x_2≥1 ,x_3≥1 ,x_1≥0$ ve $x_4≥0 $ olmak üzere 
$x_1+ x_2+x_3+ x_4=4$ 
Bu denklem sisteminin tamsayılarda çözüm sayısı
$C((4-2+4-1)¦3)=C(5¦3)=10 $ tanedir. 
Yerleştirilecek siyah olmayan top sayısı 4 tane ve bunlarda siyah olmayan diğer 2 renge
boyanacaktır. Toplam boyama sayısı $2^4=16$ dır. Denklemin çözüm sayısı ile çarparsak
bu dizilişte $10.16=160$ farklı boyama oluşur.

 
Dizilişlerde 2 siyah top ve 5 tanede siyah olmayan top olduğu durumda;
$-S-S-$ şeklinde dizilirler. 
Soldan başlamak üzere aralıklardaki top sayıları $x_1  ,x_2  ,x_3 $  olsun.
$ x_2≥1 ,x_3≥0 ,x_1≥0$ olmak üzere 
$ x_1+ x_2+x_3=5$
Bu denklem sisteminin tamsayılarda çözüm sayısı
$C(5-1+3-1)¦2)$=$C(6¦2)$$=15$ tanedir. 
Yerleştirilecek siyah olmayan top sayısı 5 tane ve bunlarda siyah olmayan diğer 2 renge
boyanacaktır. Toplam boyama sayısı $ 2^5=32$ dir. Denklemin çözüm sayısı ile çarparsak
bu dizilişte $15.32=480$ farklı boyama oluşur.

Dizilişlerde 1 siyah top ve 6 tanede siyah olmayan top olduğu durumda;
$-S-$ şeklinde dizilirler. 
Soldan başlamak üzere aralıklardaki top sayıları $x_1  ,x_2  $ olsun.
$ x_1≥0 ,x_2≥0 $ olmak üzere 
$ x_1+ x_2=6$ 
Bu denklem sisteminin tamsayılarda çözüm sayısı
$C(6+2-1)¦1)=C(7¦1)=7$ tanedir. 
Yerleştirilecek siyah olmayan top sayısı 6 tane ve bunlarda siyah olmayan diğer 2 renge
boyanacaktır. Toplam boyama sayısı $2^6=64$ dür. Denklemin çözüm sayısı ile çarparsak
bu dizilişte $7.64=448$ farklı boyama oluşur.

Dizilişlerde 0 siyah top ve 7 tanede siyah olmayan top olduğu durumda;
Yerleştirilecek siyah olmayan top sayısı 7 tane ve bunlarda siyah olmayan diğer 2 renge
boyanacaktır.  $2^7=128$  farklı boyama oluşur.


$ Tümünün$  $toplamı$ = $8+160+480+448+128=1224$  $tanedir.$
 

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

İstenen özellikte $n$ tane topun boyanma sayısı $a_n$ olsun. $a_1=3$ ve $a_2=3^2 - 1 = 8$ dir.

Şimdi, son topun siyah olması durumunda, sondan bir önceki top mavi veya kırmızı olabilir. Geriye $n-2$ top kalır ve bu halde istenen özellikte $2a_{n-2}$ boyama yapılabilir.

Son topun mavi veya kırmızı olması durumunda, geriye kalan $n-1$ top olduğundan bu halde $2a_{n-1}$ yolla boyama yapabiliriz. Toplamda, $n\geq 3$ için

$$ a_n = 2(a_{n-1} + a_{n-2}) $$

indirgeme bağıntısı elde edilir. $a_3 = 2(3+8) = 22$, $a_4 = 2(8+22)=60$, $a_5 = 2(22+60) = 164$, $a_6 = 2(60+164) = 448$, $a_7 = 2(164+448) = 1224$ bulunur.