Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 4  (Okunma sayısı 1111 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.522
  • Karma: +4/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 4
« : Haziran 18, 2022, 08:50:26 ös »
Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay $BC$ kenarına teğet olan dış teğet çemberi $D \in [AE]$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $\dfrac{|AD|}{|AE|} \leq \dfrac{|BC|^2}{|DE|^2}$ olduğunu gösteriniz.

Çevrimdışı Kaanksc

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 39
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 4
« Yanıtla #1 : Mayıs 14, 2024, 10:14:49 ös »
 $BC$ kenarına ait dış teğet çemberin $AC , BC ,AB$ ye değme noktaları sırasıyla $L , R , K$ olsun. Çemberin merkezi $M$ olsun. $m(\widehat {CAD}) = m(\widehat {DAB}) = \theta, m(\widehat {LCM}) = m(\widehat {MCB})$ $= \alpha$ ve $m(\widehat {CBM}) = m(\widehat {MBK}) = \beta$ olsun. Çemberin yarıçapı $r$ olsun. $MK \perp AK$ olduğundan $|AM| = \frac{r}{\sin\theta}$ dır. $|DM| = r$ olduğundan $|AD| = {\frac{r}{\sin\theta}}-r$ dir. Benzer şekilde $|AE| = \frac{r}{\sin\theta} + r$ dir. $\frac{|AD|}{|AE|} = \frac{\frac{r}{\sin\theta}-r}{\frac{r}{\sin\theta}+r} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta+1}$ elde edilir. $MR \perp BC$ olduğundan $|BC| = r \cdot (\cot\alpha + \cot\beta)$ dır. $|DE| = 2r$ olduğundan $\frac{|BC|^2}{|DE|^2} = (\frac{\cot\alpha + \cot\beta}{2})^2$ dir. $\oplus \in \{\leq , \geq\}$ olsun. Eşitsizliğin işareti yön değiştirmeyecek şekilde işlemler yapmak üzere, $(\frac{\cot\alpha + \cot\beta}{2})^2 \oplus \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta+1}$ ifadesini sağlayan $\oplus$'un $\geq$ olduğunu ispatlayacağız. $\alpha + \beta - \theta = 90^\circ$ olduğu açıktır. $\theta = \alpha + \beta - 90^\circ$ yazılır ve düzenlemeler yapıldığında  ($\sin(\alpha-90) = -\cos\alpha$ olduğundan) $(\frac{\cot\alpha + \cot\beta}{2})^2 \oplus \frac{\cos(\alpha + \beta) + 1}{1 - \cos(\alpha + \beta)}$ elde edilir. $\cot\alpha +\cot\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$ olduğundan $\cos(\alpha+\beta) = x$ olmak üzere ifade $\frac{1-x^2}{(2\sin\alpha\sin\beta)^2} \oplus \frac{x+1}{1-x}$ olur. Buda düzenlenirse $(1-x)^2 \oplus (2\sin\alpha\sin\beta)^2$ elde edilir. Her iki ifadesinde içi pozitif olduğundan eğer bu eşitsizlik sağlanıyorsa $1-\cos(\alpha+\beta) \oplus 2\sin\alpha\sin\beta$ eşitsizliğide sağlanır. $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ olduğundan ifade $1 \oplus \cos(\alpha-\beta)$ ya dönüşür. $\oplus = \geq$ olduğu açıktır. İspat biter.
« Son Düzenleme: Mayıs 15, 2024, 04:33:42 ös Gönderen: Kaanksc »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal