Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2021 Soru 4  (Okunma sayısı 1136 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.522
  • Karma: +4/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2021 Soru 4
« : Haziran 18, 2022, 08:14:12 ös »
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AC]$ ve $E \in [AB]$ olmak üzere $[BD]$ ve $[CE]$ açıortaylardır. $D$ den $BC$ ve $BA$ ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P$ ve $Q,$ $E$ den $CA$ ve $CB$ ye indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $AP$ ile $CQ$ nun kesişimi $X,$ $AS$ ile $BR$ nin kesişimi $Y,$ $BX$ ile $CY$ nin kesişimi $Z$ olmak üzere $AZ \perp BC$ olduğunu gösteriniz.

Çevrimiçi Kaanksc

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 39
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2021 Soru 4
« Yanıtla #1 : Mayıs 14, 2024, 06:36:37 ös »
Eğer $AP \cap CQ \in BD$ olursa $BX$ yükseklik olur. Simetrik şekilde $CY$ de yükseklik olur. Ve bu iki doğru diklik merkezinde kesişeceğinden $AZ \perp BC$ olur. İspat biter. İlk durumu ispatlayalım. Bunu ispatlamak için seva teoreminin tersini kullanalım. ${\frac{|AQ|}{|QB|}}\cdot{\frac{|BP|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1$ ise ispat biter. $\triangle {BQT} \cong \triangle {BPT}$ olduğundan $|BQ| = |BP|$ ve $|QT| = |PT|$ dir. İlk eşitlikten dolayı seva ifademiz olan ${\frac{|AQ|}{|QB|}}\cdot{\frac{|BP|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1,{\frac{|AQ|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1$'e dönüşür. $\triangle {AQT}\sim\triangle {ADB}$ olduğundan $\frac{|AQ|}{|AD|} = \frac{|QT|}{|BD|}$ dir. $\triangle {CPT}\sim\triangle {CDB}$ olduğundan $\frac{|TP|}{|BD|} = \frac{|PC|}{|DC|}$dir. Demin dediğimiz gibi $|QT| = |PT|$ olduğundan $\frac{|AQ|}{|AD|} = \frac{|PC|}{|DC|}$ olur. ispat biter.
« Son Düzenleme: Mayıs 14, 2024, 09:06:53 ös Gönderen: Kaanksc »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal