Gönderen Konu: Lise 2. Aşama 2020 Soru 3  (Okunma sayısı 2068 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Lise 2. Aşama 2020 Soru 3
« : Mayıs 07, 2021, 12:22:25 öö »
$x, y, z$ pozitif gerçel saylar olmak üzere,
$$
2 \sqrt{(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)}
$$
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Lise 2. Aşama 2020 Soru 3
« Yanıtla #1 : Kasım 25, 2023, 11:52:38 ös »
$$\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\overbrace{\leq}^{Cauchy} \left(\sqrt{x+y}\sqrt{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)^2$$
olduğundan
$$\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}\leq \sqrt{x+y}\sqrt{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}$$

elde edilir. Bunu problemde yerine koyalım
$$2\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}$$
$$=\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}-\sqrt{\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)}$$
$$=\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}$$
Artık bu ifade üzerinde uğraşabiliriz. Yine Cauchy kullanaraktan
$$\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\overbrace{\geq}^{Cauchy} \left(\sqrt{x}\sqrt{\dfrac{1}{z}}+\sqrt{y}\sqrt{\dfrac{1}{y}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)^2$$
olduğundan
$$\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}\geq \sqrt{x}\sqrt{\dfrac{1}{z}}+\sqrt{y}\sqrt{\dfrac{1}{y}}+\sqrt{z}\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\dfrac{x}{z}}+\sqrt{\dfrac{z}{z}}+1$$
elde ederiz. Bunu uğraştığımız ifade de yerine koyduğumuz anda
$$\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\sqrt{\dfrac{z}{x}}\geq2\sqrt{\dfrac{z}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{z}}+1\overbrace{\geq}^{AGO} 2\sqrt{2}+1 $$
ispatı bitiririz.
« Son Düzenleme: Kasım 25, 2023, 11:58:47 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Lise 2. Aşama 2020 Soru 3
« Yanıtla #2 : Kasım 26, 2023, 02:14:55 öö »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal